Đến nội dung

Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Các anh chị giúp em bài này với ah

Bài 1. cho a, b,d, d >0 và a + b + c + d = 1

 

a, Tìm min $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)$ 

 

b. Tìm max $Q=\frac{a(1-a)}{a^2+b^2+c^2+d^2}$

 

Bài 2 Cho 2019 số dương x1, x2.........x2019 tìm min:

 

$P=\frac{3x^2_{1}+x^2_{2}+...+x^2_{2019}}{x_{1}(x_{2}+x_{3}+...+x_{2019})}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 14-06-2019 - 00:29


#2
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

BÀI 1

a. Áp dụng BĐT Holder ta có: $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)\geq (\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}+1)^{4}$

Mặt khác theo BĐT AM-GM: $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P\geq(4+1)^{4}=625$

Vậy $minP=625$ khi $a=b=c=d= \frac{1}{4}$

b. Ta có $Q=\frac{a(b+c+d)}{\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+\frac{a^{2}}{3}+c^{2}+\frac{a^{2}}{3}+d^{2}}\leq\frac{a(b+c+d)}{\frac{2}{\sqrt{3}}(ab+ac+ad)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy $maxQ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi ..........

BÀI 2. Ý tưởng cũng giống bài 1b thôi e  :closedeyes:


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#3
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

BÀI 1.
a. Áp dụng BĐT Holder ta có: $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)\geq (\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}+1)^{4}$
Mặt khác theo BĐT AM-GM: $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow P\geq(4+1)^{4}=625$
Vậy $minP=625$ khi $a=b=c=d= \frac{1}{4}$
b. Ta có $Q=\frac{a(b+c+d)}{\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+\frac{a^{2}}{3}+c^{2}+\frac{a^{2}}{3}+d^{2}}\leq\frac{a(b+c+d)}{\frac{2}{\sqrt{3}}(ab+ac+ad)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $maxQ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi ..........
BÀI 2. Ý tưởng cũng giống bài 1b thôi e :closedeyes:



#4
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Em cảm ơn anh toannd, bài 1 câu a anh có thể giải bằng cauchy dc k ah

#5
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Em cảm ơn anh toannd, bài 1 câu a anh có thể giải bằng cauchy dc k ah

Có thể dùng AM - GM (Cauchy) kiểu này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}; \frac{1}{ab}\geq\frac{4}{(a+b)^2}$

Áp dụng hai BĐT trên, ta biến đổi biểu thức P như sau:

$P=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{cd})\geq[1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^2}][1+\frac{4}{c+d}+\frac{4}{(c+d)^2}]=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)] ^2 ]$

Đặt $A=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)]^2$

$\Rightarrow A=[\frac{4}{(a+b)(c+d)}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{c+d}+1]^2\geq[\frac{16}{(a+b+c+d)^2}+\frac{8}{a+b+c+d}+1]^2=625$

$\Rightarrow P\geq A\geq625$  ~O)


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#6
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Ngưỡng mộ anh toanND quá, anh chỉ cho em cách học giỏi bđt với ạ!!

#7
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Ngưỡng mộ anh toanND quá, anh chỉ cho em cách học giỏi bđt với ạ

Kiếm sách với tài liệu mà đọc thôi e :ukliam2:


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#8
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Anh giúp em mấy bài này nữa với ah, em mới học Cauchy, Schwar và Bunhia

 

Bài 1. cho a,b, c dương và a + b +c =3 CMR 

$(a^2+\frac{5}{b})^2+(b^2+\frac{5}{c})^2+(c^2+\frac{5}{a})^2\geqslant 108$

Bài 2. $(b+c)\sqrt{3a+bc}+(c+a)\sqrt{3b+ca}+(a+b)\sqrt{3c+ab}\geq 4(ab+bc+ca)$

Bài 3. CMR với mọi a,b,c dương ta đều có

$(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geqslant abc(a+1)(b+1)(c+1)$

Bài 4. cho a,b, c dương và 3a^2+4b^2+4bc+4c^2 <= 15 Tìm min, max của a+b+c



#9
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Mình xin phép đóng góp :D

Bài 1: VT $ \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a} +\frac{5}{b}+\frac{5}{c})^2}{3} \geq \frac{(\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{5.9}{a+b+c})^2}{3} = 108 = $ VP

Dấu "=" khi $ a=b=c=1$ 



#10
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 2: Có điều kiện a+b+c = 3 không bạn ? 



#11
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

BÀI 3. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có $(a^2+b)(1+\frac{1}{b})\geq(a+1)^2$

Tương tự với các BĐT còn lại rồi nhân lại ta có $(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\geq(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow (a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$

Dấu = xảy ra khi a =b =c 


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#12
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 2. Nếu có a+b+c = 3

Ta có: $3a+bc = a(a+b+c)+bc = (a+b)(a+c) $.

Tương tự, từ đó có VT = :

$ (b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)} + (a+c)\sqrt{(b+c)(b+a)}+(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)} \geq (b+c)(a+\sqrt{bc})+(a+c)(b+\sqrt{ac})+(a+b)(c+\sqrt{ab}) = 2(ab+bc+ac) + (b+c)\sqrt{bc}+ (a+c)\sqrt{ac}+(a+b)\sqrt{ab} \geq 2(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ac)= 4(ab+bc+ac) $ 

Dấu "=" $ a=b=c =1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-06-2019 - 22:36


#13
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 2: Có điều kiện a+b+c = 3 không bạn ? 

Cảm ơn sin99, em gõ thiếu: cho a, b, c dương và  a+b+c = 3 



#14
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Giúp em bài 4 này nữa ah

 

Bài 4.  Tìm min, max của a+b+c thỏa mãn  $3a^{2}+4b^{2}+4bc+4c^{2}\leqslant 15$



#15
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Áp dụng BĐT $b^2+bc+c^2\geq\frac{3}{4}(b+c)^2$

Ta có $15\geq3a^2+4(b^2+bc+c^2)\geq3[a^2+(b+c)^2]\geq\frac{3}{2}(a+b+c)^2$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\leq10\Rightarrow-\sqrt{10}\leq a+b+c\leq \sqrt{10}$

Từ đó ta có min , max

e tự tìm dấu = nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 17-06-2019 - 13:28

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#16
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 1 cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn ab=1 chứng minh rằng

$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}\geqslant 1$

 

Bài 2 CMR với mọi a, b,c >0 thì 

$1+\sqrt[3]{abc}\leqslant \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}$

 

Bài 3 cho a, b,c >0 thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}= 3$ tìm max P

 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}$

 

 

Bài 4. cho a,b,c dương và abc>=1 tìm max P

$P=\frac{1}{\sqrt{2a^2+b^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2b^2+c^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+a^2+3}}$

 

Baif5. cho a,b,c là 3 số thực dương và a,b,c <4 CMR

$\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\geq \frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{16}$



#17
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu 1: VT = $ \frac{a^3}{ab+b^2} + \frac{b^3}{1+a^2} = \frac{a^3}{b(a+b)} + \frac{b^3}{a(b+a)} $ 

Ta có: $ \frac{b^3}{a(a+b)} + \frac{b}{2} + \frac{(a+b)}{4} \geq \frac{3a}{2} $

$ \Rightarrow  $ $   \frac{b^3}{a(a+b)} \geq \frac{3a}{2} - (  \frac{b}{2} + \frac{(a+b)}{4} )  $

Tương tự :  $ \frac{a^3}{b(a+b)} \geq \frac{3b}{2} - (  \frac{a}{2} + \frac{(a+b)}{4}  ) $ 

Cộng theo vế, ta được:  $ VT  \geq \frac{3(a+b)}{2} - (a+b) = \frac{(a+b)}{2} \geq 1 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 19:53


#18
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 2: BDT $ \Leftrightarrow  1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc \leq (1+a)(1+b)(1+c) $ 

Ta có: $ VP = (1+a)(1+b)(1+c) = 1+ ab+bc+ac + a+b+c + abc \geq 1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc = VT $ 

Suy ra BDT ban đầu đúng. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 19:58


#19
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu 3. 

Ta có: $ \frac{1}{\sqrt{a^2-2ab+b^2+ab}} = \frac{1}{\sqrt{(a-b)^2+ab}} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) $

Tương tự, cộng theo vế ta có: $ VT \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $

Mặt khác $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \sqrt{3(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2})}  = 3 $

Vậy $ P \leq 3 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 20:08


#20
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Cảm ơn Sin99 nhiều , giúp em nốt bài 4 và bài 5 với ah

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh