Mọi người thảo luận bài sau
Cho mình hỏi bài này có thể giả sử x>=y>=z được không ạ?
Không thể giả sử như vậy, vì nếu thay $x= y,\,y= x,\,z= z$ thì bất đẳng thức thay đổi, vai trò bị thay đổi nên giả sử như vậy là không đúng!
Nhưng bất đẳng thức này hoán vị theo $x\rightarrow y\rightarrow z$ tức thay với thứ tự $x= y,\,y= z,\,z= x$ bất đẳng thức không đổi!
Vậy ta có thể giả sử $y= {\rm mid}\{\,x,\,y,\,z\,\}$ hoặc $y= \min\{\,x,\,y,\,z\,\}$ hoặc $y= \max\{\,x,\,y,\,z\,\}$, chỉ giả sử như thế cho $1$ biến!
Không thể giả sử như vậy, vì nếu thay $x= y,\,y= x,\,z= z$ thì bất đẳng thức thay đổi, vai trò bị thay đổi nên giả sử như vậy là không đúng!
Nhưng bất đẳng thức này hoán vị theo $x\rightarrow y\rightarrow z$ tức thay với thứ tự $x= y,\,y= z,\,z= x$ bất đẳng thức không đổi!
Vậy ta có thể giả sử $y= {\rm mid}\{\,x,\,y,\,z\,\}$ hoặc $y= \min\{\,x,\,y,\,z\,\}$ hoặc $y= \max\{\,x,\,y,\,z\,\}$, chỉ giả sử như thế cho $1$ biến!
Vậy DOTOANANG có thể đưa ra lời giải cho bài này được không
S ử d ụ n g $\lceil$ CAUCHY*SCHWARZ!inequality $\rfloor$
$$\,\therefore\,\frac{9}{2}\geqq \left ( x(\,y+ z\,)+ y(\,z+ x\,)+ z(\,x+ y\,) \right )\left ( \frac{1}{(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)}+ \frac{1}{(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}+ \frac{1}{(\,z+ x\,)(\,x+ y\,)} \right )$$
$$\therefore\,\frac{1}{2}\geqq \frac{4\,xyz}{(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}$$
OR!
$$\therefore\,\frac{9}{2}\geqq (\,2\,x+ 2\,y+ 2\,z\,)\left ( \frac{y}{(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)}+ \frac{z}{(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}+ \frac{x}{(\,z+ x\,)(\,x+ y\,)} \right )$$
$$\therefore\,\frac{1}{2}\geqq \frac{4\,xyz}{(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}$$
h a y
$$\because\,\frac{x^{\,2}y+ y^{\,2}z+ z^{\,2}x+ x^{\,2}z+ z^{\,2}y+ y^{\,2}x}{2(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}\geqq \frac{6\,xyz}{2(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 14-06-2019 - 13:53
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh