Chủ đề này có 6 trả lời

[toanhoc2017]

cho $a_{2},a_{3},..,a_{n}$ là n -1 số thực dương.Chứng minh $(1+a_{2})^2.(1+a_{3})^3...(1+a_{n})^n$ lớn hơn $n^n$ với  $a_{2}.a_{3}...a_{n}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 16-06-2019 - 23:22

[toanhoc2017]

Gợi ý tý anh em

[Hoanganh3001]

Mũ bao nhiêu thì tách 1 ra thành số mũ lần 1/ số mũ rồi cosi là xong

[Kim Shiny]

Mũ bao nhiêu thì tách 1 ra thành số mũ lần 1/ số mũ rồi cosi là xong

giải luôn đi bạn ơi

[toanhoc2017]

Giải xong rồi .làm biếng gõ quá

[Hoanganh3001]

1+a2=1+a2 cosi 1+a3=1/2+1/2 +a3 cosi tiếp cứ như vậy cho đến n thì có ngay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoanganh3001: 25-06-2019 - 22:23

[Khoa Linh]

cho $a_{2},a_{3},..,a_{n}$ là n -1 số thực dương.Chứng minh $(1+a_{2})^2.(1+a_{3})^3...(1+a_{n})^n$ lớn hơn $n^n$ với  $a_{2}.a_{3}...a_{n}=1$

Bài này là bài IMO 2012

Tham khảo tại đây: https://artofproblem...h488342p2736375

Còn đây là lời giải mình copy lại cho nhanh:

Note that $(a_k+1)=\left(a_k+\frac 1{k-1}+\cdots+\frac 1{k-1}\right)\geq k\sqrt[k]{\frac{a_k}{(k-1)^{k-1}}};$

Therefore $(a_k+1)^k\geq \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}}\cdot a_k.$

Taking the product from $k=2$ to $k=n,$ we see that

\[\prod_{k=2}^n(a_k+1)^k\geq n^na_2a_3\cdots a_{n}=n^n.\]

Equality holds iff $a_k=\frac 1{k-1}$ for all $k,$ which is not possible.