Chủ đề này có 4 trả lời

[Tantran2510]

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$

[WaduPunch]

Bài 2 bạn ghi sai đề r thì phải. Đó phải là $\frac{9}{512}$ mới đúng

Ta có: BĐT cần cm $<=> \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{b^4}{(3bc+5ab)^3}+\frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}\geq \frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{9(3ab+5ac)}{4096}\geq \frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}<=>\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}-\frac{9(3ab+5ac)}{4096}$

Tương tự ta sẽ có $VT\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9(ab+bc+ca)}{512}=\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM dạng Engel ta có:

$\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{256(ab+bc+ca)}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{256(ab+bc+ca)} =\frac{9}{256}$$<=>VT\geq \frac{9}{256}-\frac{9}{512}=\frac{9}{512}$

Dấu "$=$"xảy ra $<=> a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[tr2512]

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

[Tantran2510]

Bài 2 bạn ghi sai đề r thì phải. Đó phải là $\frac{9}{512}$ mới đúng

Ta có: BĐT cần cm $<=> \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{b^4}{(3bc+5ab)^3}+\frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}\geq \frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{9(3ab+5ac)}{4096}\geq \frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}<=>\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}-\frac{9(3ab+5ac)}{4096}$

Tương tự ta sẽ có $VT\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9(ab+bc+ca)}{512}=\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM dạng Engel ta có:

$\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{256(ab+bc+ca)}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{256(ab+bc+ca)} =\frac{9}{256}$$<=>VT\geq \frac{9}{256}-\frac{9}{512}=\frac{9}{512}$

Dấu "$=$"xảy ra $<=> a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

cảm ơn cậu, mình ghi nhầm 

[Tantran2510]

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

cảm ơn ạ