Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz dạng phân thức

cauchy schwartz

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Đã gửi 18-06-2019 - 11:46

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$



#2 WaduPunch

WaduPunch

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47-THPT chuyên PBC
  • Sở thích:Mén Nì Thình

Đã gửi 30-06-2019 - 23:43

Bài 2 bạn ghi sai đề r thì phải. Đó phải là $\frac{9}{512}$ mới đúng

Ta có: BĐT cần cm $<=> \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{b^4}{(3bc+5ab)^3}+\frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}\geq \frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{9(3ab+5ac)}{4096}\geq \frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}<=>\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}-\frac{9(3ab+5ac)}{4096}$

Tương tự ta sẽ có $VT\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9(ab+bc+ca)}{512}=\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM dạng Engel ta có:

$\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{256(ab+bc+ca)}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{256(ab+bc+ca)} =\frac{9}{256}$$<=>VT\geq \frac{9}{256}-\frac{9}{512}=\frac{9}{512}$

Dấu "$=$"xảy ra $<=> a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#3 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 271 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 02-07-2019 - 19:01

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.



#4 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Đã gửi 04-07-2019 - 10:25

Bài 2 bạn ghi sai đề r thì phải. Đó phải là $\frac{9}{512}$ mới đúng

Ta có: BĐT cần cm $<=> \frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{b^4}{(3bc+5ab)^3}+\frac{c^4}{(3ac+5bc)^3}\geq \frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}+\frac{9(3ab+5ac)}{4096}\geq \frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}<=>\frac{a^4}{(3ab+5ac)^3}\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}-\frac{9(3ab+5ac)}{4096}$

Tương tự ta sẽ có $VT\geq\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9(ab+bc+ca)}{512}=\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}-\frac{9}{512}$

Áp dụng BĐT AM-GM dạng Engel ta có:

$\frac{3a^2}{32(3ab+5ac)}+\frac{3b^2}{32(3bc+5ab)}+\frac{3c^2}{32(3ac+5bc)}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{256(ab+bc+ca)}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{256(ab+bc+ca)} =\frac{9}{256}$$<=>VT\geq \frac{9}{256}-\frac{9}{512}=\frac{9}{512}$

Dấu "$=$"xảy ra $<=> a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

cảm ơn cậu, mình ghi nhầm 



#5 Tantran2510

Tantran2510

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Đã gửi 04-07-2019 - 10:31

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

cảm ơn ạ 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cauchy schwartz

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh