Ngày thi 7-6-2019
Thời gian làm bài 150 phút
1. (2 điểm)
1.1. Tìm các tham số thực $m$ để phương trình $x^2 + (3m-4)x + 2m^2-4m=0$ có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn $9$.
1.2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 -xy = 9 &\\ x^4+y^4=162 & \end{matrix}\right.$
1.3. Phân tích đa thức $x^4-8x^3+26x^2-39x+24$ thành nhân tử.
2. (2,5 điểm)
2.1. Cho $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2702x+1=0$. Tính giá tri biểu thức $M=\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt[3]{x_2}$
2.2. Rút gọn biểu thức $P=\frac{a\sqrt{a}-8}{a-4}-\frac{2a\sqrt{a}+6a+7\sqrt{a}+6}{a+4\sqrt{a}+4}$ (với $a\le 0$ và $a\ne 4$). Tìm các số tự nhiên $a$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
2.3. Giải phương trình $x^3 = 6(\sqrt[3]{6x-9})-9$.
3. (1,25 điểm)
3.1. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3+2019n$ là số chính phương.
3.2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+8=xy^2+2x &\\ y^2+8=x^2y+2y & \end{matrix}\right.$
4. (1 điểm)
4.1. Cho các số thực dương $a,b,c$. CMR $\frac{a^2}{b^2} +\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge 2\left( \frac{a}{c} +\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right) -3$.
4.2. Cho $10$ điểm phân biệt nằm bên trong một hình chữ nhật có hai cạnh bằng $18a$ và $24a$ ($a$ là số thực dương). CMR trong $10$ điểm đã cho có không ít hơn hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $10a$.
5. (2,75 điểm)
Cho tam giác $ABC$ ($AB<AC$), đường cao $AH$, ba góc đều nhọn. $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, đường kính $AK$; $(I)$ là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc $BC$ tại $D$. $P, T, F$ là giao điểm với $(O)$ của $AI,KI,AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $AF, BK$. $Q$ là hình chiếu của $E$ lên $AK$.
5. 1. Chứng minh $A,B,E, Q$ cùng thuộc một đường tròn.
Tìm tâm nội tiếp của $BFQ$.
5. 2. Tìm tâm ngoại tiếp của $IBC$. Chứng minh $PB=PJ$, $J$ là tâm bàng tiếp trong góc $A$.
5. 3. CMR $P,D,T $ thẳng hàng.
6. (0,5 điểm)
Có bao nhiêu cách sắp $6$ cuốn sách phân biệt vào $3$ ngăn tủ phân biệt sao cho mỗi ngăn có ít nhất một cuốn? (không kể thứ tự các cuốn trong ngăn sách)