Chủ đề này có 2 trả lời

[thptpbc]

cho các số thực dương  x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz=3.Chứng minh bất đẳng thức$\sum \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq 1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thptpbc: 18-06-2019 - 22:49

[phongmaths]

cho các số thực dương  x,y,z thỏa mãn xy+xz+xz=3.Chứng minh bất đẳng thức$\sum \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq 1.$

sao lại là xy+xz+xz=3

[phongmaths]

Ta có 

$\sum \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}= \sum \frac{x^2}{(x+2)(x^2-2x+4)}\geq \sum \frac{2x^2}{x+2+x^2-2x+4}=\sum \frac{2x^2}{x^2-x+6}$

Áp dụng BĐT cauchy-Schwart  và với xy+yz+zx=3 ta có 

$\sum \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\geq 2\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-x-y-z+18}=2\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2-x-y-z+12+2(xy+yz+zx)}=2\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-x-y-z+12}$

Đặt t=x+y+z với $t\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$

BĐT cần chứng minh là $\frac{2t^2}{t^2-t+12}\geq 1\Leftrightarrow (t-3)(t+4)\geq 0 $ (BĐT đúng )

Dấu bằng xảy ra khi t=3 khi x=y=z=1