Chủ đề này có 2 trả lời

[Hoanganh3001]

Bài toán: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. CMR
$\frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

[Tran Danh]

Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có

$a^3 + 1 \geq 2a\sqrt{a}$

$b^3 + 1 \geq 2b\sqrt{b}$

$c^3 + 1 \geq 2c\sqrt{c}$

$a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc = 3*1 = 3$

 

Cộng 3 vế lại, ta có

$a^3 + b^3 + c^3 +1+1+1 \geq 3+3 = 6 \geq 2a\sqrt{a} + 2b\sqrt{b} + 2c\sqrt{c}$

=> $\frac{a\sqrt{a}}{2} +\frac{b\sqrt{b}}{2}+\frac{c\sqrt{c}}{2} \leq \frac{3}{2}$

=> $\frac{a^3}{2a\sqrt{a}}+\frac{b^3}{2b\sqrt{b}}+\frac{c^3}{2c\sqrt{c}} \leq \frac{3}{2}$

Mà $\frac{a^3}{a^3+1} + \frac{b^3}{b^3+1}+\frac{c^3}{c^3+1} \leq \frac{a^3}{2a\sqrt{a}}+\frac{b^3}{2b\sqrt{b}}+\frac{c^3}{2c\sqrt{c}}$

=> $\frac{a^3}{a^3+1} +\frac{b^3}{b^3+1}+\frac{c^3}{c^3+1} \leq \frac{3}{2}$

=> $3 - \frac{1}{a^3+1}-\frac{1}{b^3+1}-\frac{1}{c^3+1} \leq \frac{3}{2}$

=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1} \geq \frac{3}{2}$ $(1)$

 

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)$

$= 2abc + ab(a+b)+ bc(b+c)+ca(c+a)$

$= 2 + \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b}$

$= 2 +(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})$

$\geq 2+2+2+2=8$

=> $\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sqrt[3]{8} = 2$

=> $\frac{1}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}} \leq \frac{3}{2}$ $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$

=> $\frac{1}{a^3+1} +\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

[Sin99]

Ngay từ dòng đầu cộng 3 vế ta có bạn đã sai rồi