Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * - 1 Bình chọn

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức $\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}

bất đẳng thức cauchy schwarz vmo inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 nguyen minh hieu hp

nguyen minh hieu hp

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 24-06-2019 - 18:38

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh bất đẳng thức

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}$



#2 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 04-07-2019 - 21:41

Ta có 

$\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-\frac{ab^3}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^{2}+ab+b^{2}}=a^2-ab$

CMTT ta suy ra $\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum (\frac{a^{4}}{a^{2}+ab+b^{2}}-\frac{ab^3}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (a^2-ab)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}$

Mà $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a+b+c}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{a+b+c}+\frac{3abc}{a+b+c}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{a+b+c}+\frac{3abc}{a+b+c}=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\frac{3abc}{a+b+c}$

BĐT phải chứng minh là $(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\sum \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}\geq (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+\frac{3abc}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{bc^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{3abc}{a+b+c}$

Chia cả hai vế cho abc ta được

$\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}+\frac{c^2}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{a^2}{b(c^2+ca+a^2)}\geq \frac{3}{a+b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy schwart ta được

$\frac{b^2}{c(a^2+ab+b^2)}+\frac{c^2}{a(b^2+bc+c^2)}+\frac{a^2}{b(c^2+ca+a^2)}\geq \frac{(a+b+c)^2}{c(a^2+ab+b^2)+a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$

Mà $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\geq \frac{3}{a+b+c}$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cauchy schwarz, vmo, inequality

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh