Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một điểm $D$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $AD$ không là đường kính của $(O)$. Điểm $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\widehat{ADE}=90^o$. Trung trực của $DE$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $X, Y$. Tìm quỹ tích của trọng tâm $\triangle AXY$ khi $D$ di chuyển.
Kẻ đường kính $AD'$ của $(O)$, khi đó $D,D',E$ thẳng hàng.
Lấy $Y'$ trên $AC$ sao cho $Y'E=Y'C$, do tam giác $ABC$ cân nên $YE||AB$.
Ta có $\angle EDC=\angle D'AC=\frac{1}{2} \angle EY'C$ suy ra $Y'$ là tâm $(DEC)$ nên $Y' $ trùng $ Y$ và ta có $YE=YC$.
Tương tự $XE=XB$. Suy ra $AXEY$ là hình bình hành nên $A,G,E$ thẳng hàng, hơn nữa $AE=3AG$.
$D$ di chuyển trên $(O)$, $E$ di chuyển trên $BC$ thì $G$ sẽ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$. (dùng phép vị tự tỉ số $\frac{1}{3}$ hoặc làm theo cách cấp 2 cũng được).
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi