Chủ đề này có 3 trả lời

[supreme king]

Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}\geq 1$

[Khoipro999]

Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}\geq 1$

 

Ta có : $\frac{1}{2+a^2b} = \frac{1}{2}.\frac{2}{2+a^2b} = \frac{1}{2} . ( 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b})$

Do $2 + a^2b = 1 + 1 + a^2b \geq 3\sqrt[3]{a^2b}$ $\Rightarrow 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b} \geq 1 - \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3}$

Mà $\sqrt[3]{a^4.b^2} = a . \sqrt[3]{a.b^2} \leq a.\frac{a+2b}{3} = \frac{a^2+2ab}{3}$

$\Rightarrow 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3} \geq 1 - \frac{a^2+2ab}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} \geq \frac{1}{2}(1-\frac{a^2+2ab}{9})$ ( 1 ) 

Làm tương tự , ta có : $\frac{1}{2+b^2c}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{b^2+2bc}{9})$  ( 2 ) 

$\frac{1}{2+c^2a}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{c^2+2ac}{9})$ ( 3 ) 

 

Từ (1) ; (2) ; (3) $\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} + \frac{1}{2+b^2c} + \frac{1}{2+c^2a} \geq \frac{1}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{9}) \geq \frac{1}{2}(3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}) = \frac{1}{2}(3-\frac{3.3}{9}) = 1$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 06-07-2019 - 07:00

[supreme king]

Ta có : $\frac{1}{2+a^2b} = \frac{1}{2}.\frac{2}{2+a^2b} = \frac{1}{2} . ( 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b})$

Do $2 + a^2b = 1 + 1 + a^2b \geq 3\sqrt[3]{a^2b}$ $\Rightarrow 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b} \geq 1 - \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3}$

Mà $\sqrt[3]{a^4.b^2} = a . \sqrt[3]{a.b^2} \leq a.\frac{a+2b}{3} = \frac{a^2+2ab}{3}$

$\Rightarrow 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3} \geq 1 - \frac{a^2+2ab}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} \geq \frac{1}{2}(1-\frac{a^2+2ab}{9})$ ( 1 ) 

Làm tương tự , ta có : $\frac{1}{2+b^2c}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{b^2+2bc}{9})$  ( 2 ) 

$\frac{1}{2+c^2a}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{c^2+2ac}{9})$ ( 3 ) 

 

Từ (1) ; (2) ; (3) $\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} + \frac{1}{2+b^2c} + \frac{1}{2+c^2a} \geq \frac{1}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{9}) \geq \frac{1}{2}(3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}) = \frac{1}{2}(3-\frac{3.3}{9}) = 1$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$

Cảm ơn bạn nhé

[supreme king]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 06-07-2019 - 09:41