Chủ đề này có 4 trả lời

[HocSinhGioiii]

Mọi người làm được bài nào thì giúp mình bài đó ạ, Chân thành cảm ơn

Bài 1: Cho a,b,c >0. Chứng minh:
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq 1$

Bài 2: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^3$
Bài 3: Cho x,y,z $\geq 1$  và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ . Chứng minh:

$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} +\sqrt{y-1} +\sqrt{z-1}$
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+ac+bc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{4a^2-bc+1}\geq \frac{3}{2}$

[youarethebest]

Bài 1 : 

Đặt $S=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}$

và $P=(a(a^{2}+8bc)+b(b^{2}+8ac)+c(c^{2}+8ab))$

Theo bđt holder , ta được : 

$S^{2}P\geq (a+b+c)^{^{3}}$

Ta chứng minh :

$(a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$

$<=> b(a-c)^{2}+c(a-b)^{2}+a(b-c)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng )

=> đpcm 

[PDF]

Bài 2: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\sum\frac{a}{4b^{2}+1}= \sum \frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^{2}}{4\sum a^{2}b^{2}+\sum a^{2}}$ .

Cần chứng minh $4\sum a^{2}b^{2}+\sum a^{2}\leq 1 =(\sum a)^{2}$ hay

$\sum ab(1-2ab)\geq 0$ . Điều này đúng vì $0\leq ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{4}=\frac{1}{4}< \frac{1}{2}$ hay $1-2ab> 0$ ,tương tự , $1-2bc> 0$ và $1-2ca> 0$ .

Dấu bằng xảy ra khi trong a,b,c có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1.

p/s: a,b,c>0 thì dấu bằng không xảy ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:41

[Arthur Pendragon]

Bài 4:

Ta có:

$\sum \frac{1}{4a^2-bc+1}=\sum \frac{1}{4a^2+ab+ac}=\sum \frac{3b+3c}{a(4a+b+c)(3b+3c)} \geq \sum \frac{3b+3c}{4a(a+b+c)^2}$

Lại có:

$\sum \frac{3b+3c}{4a(a+b+c)^2} =\frac{3}{4(a+b+c)^2}\sum \frac{b+c}{a} \geq \frac{3}{4(a+b+c)^2}.\frac{4(a+b+c)^2}{2ab+2bc+2ca}=\frac{3}{2}$

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 19-07-2019 - 23:23

[Arthur Pendragon]

Bài 3:

Đk đề bài tương đương với:

$\sum \frac{x-1}{x} = 1$

Theo C-S:

$1=\sum \frac{x-1}{x} \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}$

Từ đây suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 19-07-2019 - 23:27