Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một số bài toàn bất đẳng thức mình cần được giúp đỡ!

bất đẳng thức bunhia

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 HocSinhGioiii

HocSinhGioiii

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 11-07-2019 - 22:22

Mọi người làm được bài nào thì giúp mình bài đó ạ, Chân thành cảm ơn :))

Bài 1: Cho a,b,c >0. Chứng minh:
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq 1$

Bài 2: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^3$
Bài 3: Cho x,y,z $\geq 1$  và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ . Chứng minh:

$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} +\sqrt{y-1} +\sqrt{z-1}$
Bài 4: Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+ac+bc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{4a^2-bc+1}\geq \frac{3}{2}$



#2 youarethebest

youarethebest

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Đã gửi 14-07-2019 - 07:49

Bài 1 : 

Đặt $S=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}$

và $P=(a(a^{2}+8bc)+b(b^{2}+8ac)+c(c^{2}+8ab))$

Theo bđt holder , ta được : 

$S^{2}P\geq (a+b+c)^{^{3}}$

Ta chứng minh :

$(a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc$

$<=> b(a-c)^{2}+c(a-b)^{2}+a(b-c)^{2}\geq 0$ ( luôn đúng )

=> đpcm 



#3 PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 19-07-2019 - 21:35

Bài 2: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\sum\frac{a}{4b^{2}+1}= \sum \frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(\sum a\sqrt{a})^{2}}{4\sum a^{2}b^{2}+\sum a^{2}}$ .

Cần chứng minh $4\sum a^{2}b^{2}+\sum a^{2}\leq 1 =(\sum a)^{2}$ hay

$\sum ab(1-2ab)\geq 0$ . Điều này đúng vì $0\leq ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{4}=\frac{1}{4}< \frac{1}{2}$ hay $1-2ab> 0$ ,tương tự , $1-2bc> 0$ và $1-2ca> 0$ .

Dấu bằng xảy ra khi trong a,b,c có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1.

p/s: a,b,c>0 thì dấu bằng không xảy ra.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:41


#4 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Autumn River (?)

Đã gửi 19-07-2019 - 23:21

Bài 4:

Ta có:

$\sum \frac{1}{4a^2-bc+1}=\sum \frac{1}{4a^2+ab+ac}=\sum \frac{3b+3c}{a(4a+b+c)(3b+3c)} \geq \sum \frac{3b+3c}{4a(a+b+c)^2}$

Lại có:

$\sum \frac{3b+3c}{4a(a+b+c)^2} =\frac{3}{4(a+b+c)^2}\sum \frac{b+c}{a} \geq \frac{3}{4(a+b+c)^2}.\frac{4(a+b+c)^2}{2ab+2bc+2ca}=\frac{3}{2}$

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 19-07-2019 - 23:23

"After all this time?"

"Always.."      


#5 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:Autumn River (?)

Đã gửi 19-07-2019 - 23:26

Bài 3:

Đk đề bài tương đương với:

$\sum \frac{x-1}{x} = 1$

Theo C-S:

$1=\sum \frac{x-1}{x} \geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}$

Từ đây suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 19-07-2019 - 23:27

"After all this time?"

"Always.."      






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh