Mọi người xuất thủ tương trợ em với ạ :V
Một số bài toàn bất đẳng thức mình cần được giúp đỡ!
#1
Posted 11-07-2019 - 22:26
#2
Posted 12-07-2019 - 08:06
bài 15: đặt vế trái là A
xét biểu thức B=$a(a^{2}+8bc)+b(b^{2}+8ac)+c(c^2+8ab)$
Áp dụng bất đẳng thức Holder với 3 dãy ta có:
A.A.B$\geq (a+b+c)^{3}$
ta cần chứng minh $(a+b+c)^{3} \geq B$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc \Leftrightarrow c(a-b)^{2}+a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}\geq 0$
- PhamQuangDuong likes this
#3
Posted 12-07-2019 - 15:23
Bài 17. $ VP = \sum \sqrt{x-1} = \sum \sqrt{x(1-\frac{1}{2}} \leq \sqrt{(x+y+z)(3-\sum \frac{1}{x})} = \sqrt{(x+y+z)(3-2)} = VT $
- PhamQuangDuong likes this
#4
Posted 12-07-2019 - 15:40
Bài 19. Bằng U.C.T ta cần chứng minh $ \frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2}{2} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a(a-1)^2}{2-a} \geq 0 $ (Đúng). Tương tự, cộng theo vế ta có ĐPCM
- thanhdatqv2003 and PhamQuangDuong like this
#5
Posted 12-07-2019 - 15:43
Bài 17. $ VP = \sum \sqrt{x-1} = \sum \sqrt{x(1-\frac{1}{2}} \leq \sqrt{(x+y+z)(3-\sum \frac{1}{x})} = \sqrt{(x+y+z)(3-2)} = VT $
giải bài 16 18 vs
#6
Posted 12-07-2019 - 15:45
Bài 20,21 tương tự bài 19
#7
Posted 12-07-2019 - 15:52
Bài 20,21 tương tự bài 19
bài 20 UCT thế nào vậy
#8
Posted 12-07-2019 - 16:52
$\boxed{16}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}=\frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}+\frac{b^3}{4b^2c^2+c^2}+\frac{c^3}{4c^2a^2+c^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2}$
Ta chỉ cần chứng minh
$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+a^2+b^2+c^2\leq 1 =(a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq0$
Lại có $ab>0$ , $ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}<\frac{(a+b+c)^2}{4}$ $\Rightarrow ab<\frac{1}{4}\Rightarrow ab(1-2ab)>0$
Tương tự ta có đpcm
Dấu = không xảy ra
- Sin99, youarethebest, Gammaths11 and 1 other like this
______________ ______________
#9
Posted 13-07-2019 - 15:24
bài 25: $\sum \frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}\doteq 3-\sum \frac{a}{a+3\sqrt{bc}}\leq 3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{\sum a+3\sum \sqrt{bc}}\leq 3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}+\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{3}} =3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$
- PhamQuangDuong likes this
#10
Posted 13-07-2019 - 16:04
bài 23: $\sum \frac{3a+b}{2a+c}=3+\sum \frac{a+b-c}{2a+c}$
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a+b-c}{2a+c}\geq 1$
ta có: $\sum \frac{a+b-c}{2a+c}= \sum \frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b-c)(2a+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum (a+b-c)(2a+c)}\doteq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}= 1$
- PhamQuangDuong likes this
#11
Posted 13-07-2019 - 16:42
21, $3-P=\Sigma\frac{1}{x+1} \ge \frac{1+1+1}{x+y+z+3}=\frac{9}{4 }$
$\Rightarrow P \le \frac{3}{4 }$
#12
Posted 13-07-2019 - 16:47
17, $ \Sigma \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \Sigma \frac{x-1}{x} = 1$
Có $x+y+z=(x+y+z).\Sigma\frac{x-1}{x}\ge(x+y+z).\frac{\Sigma\sqrt{x-1}}{x+y+z}=VP$ (Q.E.D)
#13
Posted 13-07-2019 - 16:56
bài 23: $\sum \frac{3a+b}{2a+c}=3+\sum \frac{a+b-c}{2a+c}$
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{a+b-c}{2a+c}\geq 1$
ta có: $\sum \frac{a+b-c}{2a+c}= \sum \frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b-c)(2a+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum (a+b-c)(2a+c)}\doteq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}= 1$
sao lại thế này ạ ?
#15
Posted 13-07-2019 - 19:02
Bài 18.(sol by Nguyễn Huy Thắng) Sử dụng phương pháp S.O.S, ta có
$BĐT \Leftrightarrow \sum (\frac{1}{4a^2-bc+1} -\frac{1}{2}) \geq 0 \Leftrightarrow \sum \frac{(c-a)(2a+b)-(a-b)(2a+c)}{2(4a^2-bc+1)} \geq 0 \Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{2b+c}{4b^2-ac+1}-\frac{2a+c}{4a^2-bc+1}) \geq 0 \Leftrightarrow \sum (a-b)^2(6ab+4ac+4bc+c^2) \geq 0$ (Đúng).
Edited by Sin99, 13-07-2019 - 19:04.
- Gammaths11 likes this
#16
Posted 13-07-2019 - 20:02
sao lại thế này ạ ?
dùng cauchy-schwarz dạng engel
Edited by Gammaths11, 13-07-2019 - 20:03.
- PhamQuangDuong likes this
#17
Posted 13-07-2019 - 22:08
Mọi người cố gắng thử dùng C-S ( Bunhia) được không ạ? :V
#18
Posted 13-07-2019 - 22:16
#19
Posted 14-07-2019 - 07:15
ptnk ẻ có khác
đag đợi pbc-ẻ xuất chiêu mà chưa thấy nhác thế
#20
Posted 15-07-2019 - 07:43
bài 22
$\frac{1+a}{1-a}=1-\frac{2a}{1-a}$
BĐT $\Leftrightarrow 3-\sum \frac{2a}{1-a}\leq 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\Leftrightarrow \sum 2a\left ( \frac{1}{c}-\frac{1}{b+c} \right )\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$
ÁP dụng bunhia :$\left ( \sum \frac{ab}{c(b+c)} \right )\left ( \sum (b+c) \right )\geq \left ( \sum \sqrt{\frac{ab}{c}} \right )^{2}$
lại có: $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$$\Rightarrow \left ( \sum \sqrt{\frac{ab}{c}} \right )^{2}\geq 3\left ( \sum \sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}} \right )\doteq 3(a+b+c)$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \sum \frac{ab}{c(b+c)} \right )\geq 3(a+b+c)\Rightarrow \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$
Edited by Gammaths11, 15-07-2019 - 07:49.
Also tagged with one or more of these keywords: bất đẳng thức bunhia
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Một số bài toàn bất đẳng thức mình cần được giúp đỡ!Started by HocSinhGioiii, 11-07-2019 bất đẳng thức bunhia |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1} \leq \frac{10}{3}$Started by Phuongchik13a, 21-03-2013 bất đẳng thức bunhia |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users