Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x+y=2. Chứng minh x^5 + y^5 ≥ 2

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
MinhDuyetHoang

MinhDuyetHoang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Mong anh chị giúp đỡ

   Cho x+y=2. Chứng minh x^5 + y^5 ≥ 2.

Cảm ơn anh chị nhiều



#2
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Ta có 

$2(a^5+b^5)=(a^5+b^5)(a+b)\geq (a^3+b^3)^2$

$(a^5+b^5)\geq \frac{(a^3+b^3)^2}{2}$

Mà $2(a^3+b^3)=(a+b)(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$

$\Rightarrow a^5+b^5\geq\frac{( \frac{(a^2+b^2)^2}{2})^2}{2}=\frac{(a^2+b^2)^4}{8}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^4}{8} =\frac{(\frac{(2)^2}{2})^4}{8}=2$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1



#3
Tran Danh

Tran Danh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$x^5 +1+1+1+1 \geq 5\sqrt[5]{x^5} = 5x$

Tương tự$y^5+4 \geq 5\sqrt[5]{y^5}=5y$

=>$x^5 + y^5 + 8 \geq 5(x+y) = 10$

=> $x^5 + y^5 \geq 2$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh