cho a,b,c>0.
CMR :
$\frac{a^{2}}{(2a+b)(2a+c)}+\frac{b^{2}}{(2b+a)(2b+c)}+\frac{c^{2}}{(2c+a)(2c+b)}\leq \frac{1}{3}$
Bất đẳng thức
Bắt đầu bởi youarethebest, 13-07-2019 - 16:03
#2
Đã gửi 13-07-2019 - 17:32
Sin99
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
$\sum \frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} = \sum \frac{a^2}{2a(a+b+c)+2a^2+bc} \leq \frac{1}{9}\sum (\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}.$
Ta chứng minh $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc} \leq 1$. Ta có $ \sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc} \geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2} \geq 1 \Leftrightarrow (bc+ac+ab)^2\geq 0 $ ( Đúng). Vậy $ \frac{a^2}{(2a+b)(2a+c)} \leq \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $.
Dấu "=" xảy ra khi $ a=b=c$ hoặc 1 số bằng không và 2 số còn lại bằng nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 13-07-2019 - 17:49
- youarethebest yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
