Chủ đề này có 1 trả lời

[youarethebest]

Cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 

Chứng minh rằng :

$\frac{bc}{a^{2}+1}+\frac{ac}{b^{2}+1}+\frac{ab}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{4}$

[phongmaths]

Ta có Do $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ nên 

$\frac{bc}{a^{2}+1}=\frac{bc}{a^{2}+a^2+b^2+c^2}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}(\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)})$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta có

 $\frac{bc}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)})\leq \frac{1}{4}(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})$

CMTT suy ra $\frac{ac}{b^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{a^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}),\frac{ab}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$

$\frac{bc}{a^{2}+1}+\frac{ac}{b^{2}+1}+\frac{ab}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}))=\frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$