Đến nội dung

Hình ảnh

Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2

phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Chào các bạn :wub: 

Trước giờ chúng ta thường giải phương trình nghiệm nguyên ằng những cách khác nhau như đưa về phương trình tích, đưa về tổng các bình phương,.. Nhưng theo mình thấy thì các phương pháp này vẫn còn mang không ít thì nhiều tính chất may rủi trong quá trình phân tích.Do đó hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn Phương phương pháp bổ trợ cũng nhu là cách hữu hiệu nhất để giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai,2 ẩn khi mọi cách giải khác đang đi vào ngõ cụt.

Phương pháp này có 5 bước cơ bản như sau

:ukliam2:  B1 Đưa phương trình hai ẩn của đề bài về phương trình bậc 2 có 1 ẩn chính và ẩn còn lại nằm trong hệ số của phương trình đó 

:ukliam2:  B2 Lập dellta cho phương trình vừa đưa về

:ukliam2:  B3 Cho chọn điều kiện có nghiệm của phương trình ( tức là dellta lớn hơn hoặc bằng không) giải bất phương trình đó và chọn các nghiệm nguyên của phương trình, đó là nghiệm của ẩn phụ

:ukliam2: B4 Thế nghiệm ẩn phụ vào phương trình để tìm ẩn chính

:ukliam2:  B5 kết luận nghiệm

Chỉ nói thì khó hiểu vô cùng nên chúng ta cần một ví dụ cho dễ hiểu nhé :icon10: 

Bài toán: giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-xy+y^{2}=2x-3y-2$ (1)

giải: Ta có $(1) \Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}-2x+3y+2=0$

                         $\Leftrightarrow x^{2}-(y+2)x+y^{2}+3y+2=0 (2)$

Coi (2) như một phương trình bậc 2 ẩn x ta có

$\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}+3y+2)=-3y^{2}-8y-4$

Để phương trình có nghiệm thì:$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}-8y-4\geq 0\Leftrightarrow 3y^{2}+8y+4$

Giải bất phương trình này ta được nghiệm là $-2\leq y\leq \frac{-2}{3}$,trong đó có 2 nghiệm nguyên là y=-2 và y=-1

Thay y vào (1) ta được tạp nghiệm của phương trình là $(x,y)=(0;-1),(-1;1),(0;-2)$

Từ nghiệm của cách này ta sẽ có cách tách các hạng tử trong các cách khác

 


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#2
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đây là các bài tạp phương trình nghiệm nguyên mình thu thập được các bạn có thể sử dụng linh hoạt các cách để giải

Bài 1,$a,x^{2}+2y^{2}+3xy+3x+5y=15$

         $b,x^{2}+y^{2}-13(x-y)=0$

         $c,7(x^{2}+xy+y^{2})=39(x+y)$


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#3
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Mình đóng góp lg theo cách của bạn 

B1 a)

$ x^2 + 2y^2 + 3xy +3x+5y  = 15 $ 

$ \Leftrightarrow x^2 + 3(y+1)x + 2y^2  + 5y - 15 = 0 $

$ \Rightarrow \Delta =  y^2 - 2y + 69 $. Để phương trình có nghiệm nguyên thì $ \Delta $ phải là số chính phương. Đặt $ y^2 - 2y + 69 = k^2  \Rightarrow  (k + y - 1)(k -y  +1) = 68 $.  Từ đó dễ tìm được  $x,y \in Z $.



#4
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu b) thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ  :(



#5
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu c) mình giải thế này. Ta có đánh giá $ x^2  + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy \geq (x+y)^2 - \frac{(x+y)^2}{4} = \frac{3(x+y)^2}{4} $. 

$ Pt \Leftrightarrow \frac{39}{7} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y} \geq \frac{3(x+y)^2}{4(x+y)} = \frac{3}{4}(x+y) \Rightarrow \frac{52}{7} \geq x+ y $. Do $ x,y  \in Z , x  +y > 0 $ nên $ 7 \geq x+y \geq 1 $. Từ đó thế x theo y để giải phương trình bậc 2.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-07-2019 - 22:17


#6
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Câu b) thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ  :(

Vậy bạn có thể nhân 4 toàn bộ lên đưa về tổng các bình phương rồi lập bản giá trị thì có thể nhanh hơn


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#7
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Ta tiếp tục với loạt câu hỏi thứ 2 nào

$a,5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$b,x^{2}+2y^{2}-2xy+3x-3y+2=0$

$c,3(x^{2}+xy+y^{2})=x+8y$


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#8
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

a,$5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x\left (7-3y \right )+(9y^{2}+48y+68)=0$

$\Delta ^{'}\doteq 4(7-3y)^{2}-5(9y^{2}-48y+68)=-(3y-12)^{2}\leq 0$

để pt có nghiệm $\Rightarrow \Delta ^{'}\doteq 0$



#9
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

b,$x^{2}+x(3-2y)+(2y^{2}-3y+2)$

$\Rightarrow \Delta =(3-2y)^{2}-4(2y^{2}-3y+2)= 1-4y^{2}$

để pt có nghiệm nguyên$\Delta$ phải là số chính phương$\Rightarrow 1-4y^{2}=k^{2}(k \epsilon\mathbb{N} )\Leftrightarrow 1=4y^{2}+k^{2}=0+1\Rightarrow y=0$



#10
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

c,$3x^{2}+x(3y-1)+(3y^{2}-8)=0$

$\Rightarrow \Delta =(3y-1)^{3}-12(3y^{2}-8y)=-25y^{2}-90y+1$

để pt có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow 25y^{2}-90y-1\leq 0\Leftrightarrow (5y-9)^{2}\leq 82$



#11
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#12
Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

b )  x^2 - 2y^2 = 5 

<=> x^2 = 2y^2 + 5 lẻ 

=> x lẻ 

Đặt x = 2k + 1 ( k thuộc Z ) , ta có : 

4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5 

<=> 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0

<=> 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0 

<=> 2(k^2+k-1) = y^2 

Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2

Đặt y = 2m ( m thuộc Z ) , ta có : 

2(k^2+k-1) = 4m^2

<=> k^2 + k - 1 = 2m^2 

<=> k(k+1) = 2m^2 + 1  (1) 

Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp 

=> k(k+1) chia hết cho 2 (2) 

 2m^2 + 1 chia 2 dư 1 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => PT vô nghiệm nguyên 


Không có áp lực thì không có kim cương  :closedeyes:

                                                                                                                                                

 

 

#13
Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

 

x^2y - 5x^2 - xy + y - 1 = 0 

<=> x^2(y-5) - xy + y - 1 = 0 

$\Delta = y^2 - 4(y-5)(y-1) = -3y^2 + 24y - 20$

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta \geq 0$

 $\Rightarrow$3y^2 - 24y + 20  \leq  0$

$\Leftrightarrow 3(y-4)^2 - 28 \leq 0$

$\Leftrightarrow (y-4)^2 \leq \frac{28}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 18-07-2019 - 16:14

Không có áp lực thì không có kim cương  :closedeyes:

                                                                                                                                                

 

 

#14
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

b ) x^2 - 2y^2 = 5
<=> x^2 = 2y^2 + 5 lẻ
=> x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ( k thuộc Z ) , ta có :
4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5
<=> 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0
<=> 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0
<=> 2(k^2+k-1) = y^2
Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2
Đặt y = 2m ( m thuộc Z ) , ta có :
2(k^2+k-1) = 4m^2
<=> k^2 + k - 1 = 2m^2
<=> k(k+1) = 2m^2 + 1 (1)
Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp
=> k(k+1) chia hết cho 2 (2)
2m^2 + 1 chia 2 dư 1 (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => PT vô nghiệm nguyên

Nếu bạn dùng được latex thì dùng luôn đi bạn 😊😊

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#15
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Bài 4 

$a,3^{y}=x^{2}-5x+7(x,y\epsilon N)$

$3^{y}=x^{2}+2x-7$

$c,x^{2}(x-y)=5(y-1)$


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#16
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

Mình trả hướng dẫn bài a nhé :D

Thật ra bài này chẳng có gì to tác cả chỉ là mũ hơi to thôi,nếu đã như vậy ta nên đặt hai ẩn phụ như sau: $a=x^{2},b=y^{2}(a,b \epsilon Z^{+})$

Bài toán trở thành $a^{2}-2b^{2}-ab-4a-7b-5=0$,tới đây thì đơn giản rồi


Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#17
Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

 Bài 4 : a ) TT câu b )  :ukliam2:

 b ) 3^y = x^2 + 2x - 7 

Xét y = 0 , ta có : 3^0 = x^2 + 2x - 7 

<=> x^2 + 2x - 8 = 0 <=> x = -4 hoặc x = 2 

Xét y = 1 , ta có : 3^1 = x^2 + 2x - 7

<=> x^2 + 2x - 10 = 0 => PT ko có nghiệm nguyên

Xét y > 1 , ta có : 3^y = (x+1)^2 - 8 

<=> 3^y = (x+1)^2 - 9 + 1 = (x+1-3)(x+1+3) + 1  = (x-2)(x+4) + 1 

=> $x \equiv 1$ ( mod 3 ) 

Đặt x = 3m + 1 ( m thuộc N ) 

Thay vào , ta có : (3m+1-2)(3m+1+4) + 1 = 3^y

<=> (3m-1)((3m+5) + 1 = 3^y

<=> 9m^2 + 12m - 5 + 1 = 3^y

<=> 9m^2 + 12m - 4 = 3^y 

$\Leftrightarrow 3(3m^2+4m-1) = 3^y + 1$

VT chia hết cho 3 , VP chia 3 dư 1 

=> Loại 

Vậy ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 19-07-2019 - 15:52

Không có áp lực thì không có kim cương  :closedeyes:

                                                                                                                                                

 

 

#18
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bạn xem lại đoạn <=>  3^y = (x+1)^2 - 9 + 1 = (x+1-3)(x+1+3) + 1  = (x-2)(x+4) + 1  suy ra x đồng dư 1 mod 3 ? 



Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 19-07-2019 - 17:18


#19
nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
Cùng loại với các bài hôm trước mình sẽ boss thêm một bài bậc cao tương đối dễ nữa nhé
bài 5,$2x^{6}+y^{2}-2x^{3}y=320$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyendinhnguyentoan9: 20-07-2019 - 14:18

Đừng thở dài

Hãy vươn vai mà sống

Bùn dưới chân

Nhưng nắng ở trên đầu

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Fact but real :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

 


#20
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Đặt $ x^3 = a $, phương trình tương đương $ a^2 + (a- y)^2 = 320 $ . 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh