Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2

phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 16-07-2019 - 12:17

Chào các bạn :wub: 

Trước giờ chúng ta thường giải phương trình nghiệm nguyên ằng những cách khác nhau như đưa về phương trình tích, đưa về tổng các bình phương,.. Nhưng theo mình thấy thì các phương pháp này vẫn còn mang không ít thì nhiều tính chất may rủi trong quá trình phân tích.Do đó hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn Phương phương pháp bổ trợ cũng nhu là cách hữu hiệu nhất để giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai,2 ẩn khi mọi cách giải khác đang đi vào ngõ cụt.

Phương pháp này có 5 bước cơ bản như sau

:ukliam2:  B1 Đưa phương trình hai ẩn của đề bài về phương trình bậc 2 có 1 ẩn chính và ẩn còn lại nằm trong hệ số của phương trình đó 

:ukliam2:  B2 Lập dellta cho phương trình vừa đưa về

:ukliam2:  B3 Cho chọn điều kiện có nghiệm của phương trình ( tức là dellta lớn hơn hoặc bằng không) giải bất phương trình đó và chọn các nghiệm nguyên của phương trình, đó là nghiệm của ẩn phụ

:ukliam2: B4 Thế nghiệm ẩn phụ vào phương trình để tìm ẩn chính

:ukliam2:  B5 kết luận nghiệm

Chỉ nói thì khó hiểu vô cùng nên chúng ta cần một ví dụ cho dễ hiểu nhé :icon10: 

Bài toán: giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}-xy+y^{2}=2x-3y-2$ (1)

giải: Ta có $(1) \Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}-2x+3y+2=0$

                         $\Leftrightarrow x^{2}-(y+2)x+y^{2}+3y+2=0 (2)$

Coi (2) như một phương trình bậc 2 ẩn x ta có

$\Delta =(y+2)^{2}-4(y^{2}+3y+2)=-3y^{2}-8y-4$

Để phương trình có nghiệm thì:$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -3y^{2}-8y-4\geq 0\Leftrightarrow 3y^{2}+8y+4$

Giải bất phương trình này ta được nghiệm là $-2\leq y\leq \frac{-2}{3}$,trong đó có 2 nghiệm nguyên là y=-2 và y=-1

Thay y vào (1) ta được tạp nghiệm của phương trình là $(x,y)=(0;-1),(-1;1),(0;-2)$

Từ nghiệm của cách này ta sẽ có cách tách các hạng tử trong các cách khác

 


I am never die

 


#2 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 16-07-2019 - 12:23

Đây là các bài tạp phương trình nghiệm nguyên mình thu thập được các bạn có thể sử dụng linh hoạt các cách để giải

Bài 1,$a,x^{2}+2y^{2}+3xy+3x+5y=15$

         $b,x^{2}+y^{2}-13(x-y)=0$

         $c,7(x^{2}+xy+y^{2})=39(x+y)$


I am never die

 


#3 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 16-07-2019 - 22:03

Mình đóng góp lg theo cách của bạn 

B1 a)

$ x^2 + 2y^2 + 3xy +3x+5y  = 15 $ 

$ \Leftrightarrow x^2 + 3(y+1)x + 2y^2  + 5y - 15 = 0 $

$ \Rightarrow \Delta =  y^2 - 2y + 69 $. Để phương trình có nghiệm nguyên thì $ \Delta $ phải là số chính phương. Đặt $ y^2 - 2y + 69 = k^2  \Rightarrow  (k + y - 1)(k -y  +1) = 68 $.  Từ đó dễ tìm được  $x,y \in Z $.


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#4 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 16-07-2019 - 22:10

Câu b) thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ  :(


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#5 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 16-07-2019 - 22:17

Câu c) mình giải thế này. Ta có đánh giá $ x^2  + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy \geq (x+y)^2 - \frac{(x+y)^2}{4} = \frac{3(x+y)^2}{4} $. 

$ Pt \Leftrightarrow \frac{39}{7} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y} \geq \frac{3(x+y)^2}{4(x+y)} = \frac{3}{4}(x+y) \Rightarrow \frac{52}{7} \geq x+ y $. Do $ x,y  \in Z , x  +y > 0 $ nên $ 7 \geq x+y \geq 1 $. Từ đó thế x theo y để giải phương trình bậc 2.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-07-2019 - 22:17

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#6 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 17-07-2019 - 12:28

Câu b) thì đánh giá $ x,y $ nhờ xét $ \Delta $ và giải bất phương trình, nhưng có cách nào thu hẹp $ y $ lại hơn không nhỉ  :(

Vậy bạn có thể nhân 4 toàn bộ lên đưa về tổng các bình phương rồi lập bản giá trị thì có thể nhanh hơn


I am never die

 


#7 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 17-07-2019 - 12:36

Ta tiếp tục với loạt câu hỏi thứ 2 nào

$a,5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$b,x^{2}+2y^{2}-2xy+3x-3y+2=0$

$c,3(x^{2}+xy+y^{2})=x+8y$


I am never die

 


#8 Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-07-2019 - 15:49

a,$5x^{2}+9y^{2}-12xy+28x-48y+68=0$

$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x\left (7-3y \right )+(9y^{2}+48y+68)=0$

$\Delta ^{'}\doteq 4(7-3y)^{2}-5(9y^{2}-48y+68)=-(3y-12)^{2}\leq 0$

để pt có nghiệm $\Rightarrow \Delta ^{'}\doteq 0$



#9 Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-07-2019 - 15:54

b,$x^{2}+x(3-2y)+(2y^{2}-3y+2)$

$\Rightarrow \Delta =(3-2y)^{2}-4(2y^{2}-3y+2)= 1-4y^{2}$

để pt có nghiệm nguyên$\Delta$ phải là số chính phương$\Rightarrow 1-4y^{2}=k^{2}(k \epsilon\mathbb{N} )\Leftrightarrow 1=4y^{2}+k^{2}=0+1\Rightarrow y=0$



#10 Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-07-2019 - 16:03

c,$3x^{2}+x(3y-1)+(3y^{2}-8)=0$

$\Rightarrow \Delta =(3y-1)^{3}-12(3y^{2}-8y)=-25y^{2}-90y+1$

để pt có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow 25y^{2}-90y-1\leq 0\Leftrightarrow (5y-9)^{2}\leq 82$



#11 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 18-07-2019 - 12:23

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$


I am never die

 


#12 Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2019 - 13:33

b )  x^2 - 2y^2 = 5 

<=> x^2 = 2y^2 + 5 lẻ 

=> x lẻ 

Đặt x = 2k + 1 ( k thuộc Z ) , ta có : 

4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5 

<=> 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0

<=> 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0 

<=> 2(k^2+k-1) = y^2 

Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2

Đặt y = 2m ( m thuộc Z ) , ta có : 

2(k^2+k-1) = 4m^2

<=> k^2 + k - 1 = 2m^2 

<=> k(k+1) = 2m^2 + 1  (1) 

Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp 

=> k(k+1) chia hết cho 2 (2) 

 2m^2 + 1 chia 2 dư 1 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => PT vô nghiệm nguyên 


Rất mong được mọi người góp ý , giúp đỡ   :icon6:

Relaxing music : Beautiful Relaxing Music ~ Light Piano, Guitar & Flute Music ...

 

 

#13 Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2019 - 14:02

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

 

x^2y - 5x^2 - xy + y - 1 = 0 

<=> x^2(y-5) - xy + y - 1 = 0 

$\Delta = y^2 - 4(y-5)(y-1) = -3y^2 + 24y - 20$

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta \geq 0$

 $\Rightarrow$3y^2 - 24y + 20  \leq  0$

$\Leftrightarrow 3(y-4)^2 - 28 \leq 0$

$\Leftrightarrow (y-4)^2 \leq \frac{28}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 18-07-2019 - 16:14

Rất mong được mọi người góp ý , giúp đỡ   :icon6:

Relaxing music : Beautiful Relaxing Music ~ Light Piano, Guitar & Flute Music ...

 

 

#14 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 18-07-2019 - 22:51

b ) x^2 - 2y^2 = 5
<=> x^2 = 2y^2 + 5 lẻ
=> x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ( k thuộc Z ) , ta có :
4k^2 + 4k + 1 = 2y^2 + 5
<=> 4k^2 + 4k - 4 - 2y^2 = 0
<=> 2k^2 + 2k - 2 - y^2 = 0
<=> 2(k^2+k-1) = y^2
Do VT chia hết cho 2 => VP = y^2 chia hết cho 2
Đặt y = 2m ( m thuộc Z ) , ta có :
2(k^2+k-1) = 4m^2
<=> k^2 + k - 1 = 2m^2
<=> k(k+1) = 2m^2 + 1 (1)
Do k , k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp
=> k(k+1) chia hết cho 2 (2)
2m^2 + 1 chia 2 dư 1 (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => PT vô nghiệm nguyên

Nếu bạn dùng được latex thì dùng luôn đi bạn 😊😊

I am never die

 


#15 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 19-07-2019 - 14:24

Bài 4 

$a,3^{y}=x^{2}-5x+7(x,y\epsilon N)$

$3^{y}=x^{2}+2x-7$

$c,x^{2}(x-y)=5(y-1)$


I am never die

 


#16 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 19-07-2019 - 14:33

Bài 3 thẳng tiến

$a,x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$

$x^{2}-2y^{2}=5$

$c,x^{2}y-5x^{2}-xy+y-1=0$

Mình trả hướng dẫn bài a nhé :D

Thật ra bài này chẳng có gì to tác cả chỉ là mũ hơi to thôi,nếu đã như vậy ta nên đặt hai ẩn phụ như sau: $a=x^{2},b=y^{2}(a,b \epsilon Z^{+})$

Bài toán trở thành $a^{2}-2b^{2}-ab-4a-7b-5=0$,tới đây thì đơn giản rồi


I am never die

 


#17 Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2019 - 15:37

 Bài 4 : a ) TT câu b )  :ukliam2:

 b ) 3^y = x^2 + 2x - 7 

Xét y = 0 , ta có : 3^0 = x^2 + 2x - 7 

<=> x^2 + 2x - 8 = 0 <=> x = -4 hoặc x = 2 

Xét y = 1 , ta có : 3^1 = x^2 + 2x - 7

<=> x^2 + 2x - 10 = 0 => PT ko có nghiệm nguyên

Xét y > 1 , ta có : 3^y = (x+1)^2 - 8 

<=> 3^y = (x+1)^2 - 9 + 1 = (x+1-3)(x+1+3) + 1  = (x-2)(x+4) + 1 

=> $x \equiv 1$ ( mod 3 ) 

Đặt x = 3m + 1 ( m thuộc N ) 

Thay vào , ta có : (3m+1-2)(3m+1+4) + 1 = 3^y

<=> (3m-1)((3m+5) + 1 = 3^y

<=> 9m^2 + 12m - 5 + 1 = 3^y

<=> 9m^2 + 12m - 4 = 3^y 

$\Leftrightarrow 3(3m^2+4m-1) = 3^y + 1$

VT chia hết cho 3 , VP chia 3 dư 1 

=> Loại 

Vậy ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 19-07-2019 - 15:52

Rất mong được mọi người góp ý , giúp đỡ   :icon6:

Relaxing music : Beautiful Relaxing Music ~ Light Piano, Guitar & Flute Music ...

 

 

#18 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 19-07-2019 - 17:16

Bạn xem lại đoạn <=>  3^y = (x+1)^2 - 9 + 1 = (x+1-3)(x+1+3) + 1  = (x-2)(x+4) + 1  suy ra x đồng dư 1 mod 3 ? 



					
					

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 19-07-2019 - 17:18

๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐


#19 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 20-07-2019 - 14:12

Cùng loại với các bài hôm trước mình sẽ boss thêm một bài bậc cao tương đối dễ nữa nhé
bài 5,$2x^{6}+y^{2}-2x^{3}y=320$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyendinhnguyentoan9: 20-07-2019 - 14:18

I am never die

 


#20 Sin99

Sin99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \text {Tp.HCM} $
  • Sở thích:$ \textbf{ Loyalty } $

Đã gửi 20-07-2019 - 14:41

Đặt $ x^3 = a $, phương trình tương đương $ a^2 + (a- y)^2 = 320 $ . 


๐·°(৹˃̵﹏˂̵৹)°·๐






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh