Chủ đề này có 2 trả lời

[supreme king]

Cho  $\left\{\begin{matrix} x,y> 0\\x+y= 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của

  

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 16-07-2019 - 16:29

[Gammaths11]

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$

đặt S=xy+xy

áp dụng bđt holder cho 3 dãy ta có :

$P^{2}.S\geq (x+y)^{3}\doteq (x+y)(x+y)^{2}\geq 4xy(x+y)= 2.(2xy)\doteq 2S$

$\Rightarrow P^{2}\geq 2\Rightarrow P\geq \sqrt{2}$

[Khoipro999]

Cho  $\left\{\begin{matrix} x,y> 0\\x+y= 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của

  

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

 

Mik chưa học Holder nên giải thế này : 

Dự đoán : x = y = $\frac{1}{2}$

$P = \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x\sqrt{y}} + 2x\sqrt{y} + \frac{y^2}{y\sqrt{x}} + 2y\sqrt{x} - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$

$\geq 2\sqrt{2}.x + 2\sqrt{2}.y - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$ ( áp dụng BĐT Cô - si ) $= 2\sqrt{2} - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$  ( do x + y = 1 ) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

$y + \frac{1}{2} \geq 2\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2y} \Rightarrow \sqrt{y} \leq \frac{y+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow x\sqrt{y} \leq \frac{xy+\frac{x}{2}}{\sqrt{2}}$ 

Làm tương tự , ta có : $y\sqrt{x} \leq \frac{xy+\frac{y}{2}}{\sqrt{2}}$

Khi đó , P $\geq 2\sqrt{2} - 2(\frac{xy+\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + \frac{xy+\frac{y}{2}}{\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2} - 2.\frac{2xy+\frac{x+y}{2}}{\sqrt{2}} \geq 2\sqrt{2} - 2.\frac{\frac{(x+y)^2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = 1/2