Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và số thực m thỏa $0\leq m\leq 1$.
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c-ma}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-mb}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-mc}}\geq 2\sqrt{m+1}$.
Cho a, b, c: độ dài cạnh tam giác, $0\leq m\leq 1, CM:\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-ma}}\geq 2\sqrt{m+1}$
Bắt đầu bởi toihoctoan, 16-07-2019 - 21:21
bất đẳng thức
#2
Đã gửi 16-07-2019 - 21:55
Sin99
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
$ \sum \sqrt{ \frac{a}{b+c - ma } } = \sum \frac{a}{ \sqrt{a(b+c-ma)} } \geq \sum 2\frac{a}{a+b+c-ma} = \sum \frac{a^2}{a^2+ab+ac-ma^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2 - m(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3(a+b+c)^2}{(3-m)(a+b+c)^2} = \frac{3}{3-m} $ Ta cần cm $ \frac{3}{3-m} \geq \sqrt{m+1}$. Thật vậy, 2 vế dương nên BĐT tương đương
$ \frac{9}{(m-3)^2} \geq m+1 $. Ta có $ VT \geq \frac{9}{4} , VP \leq 2 $ Vậy có dpcm. Dấu "=" không xảy ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-07-2019 - 21:56
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
