Chủ đề này có 1 trả lời

[Arthur Pendragon]

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} [a;b]=50! & \\ (a;b)=5! \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 16-07-2019 - 23:31

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} [a;b]=50! & \\ (a;b)=5! \end{matrix}\right.$

Đặt $50!=2^c.3^d.5^e.7^f.11^g.13^h.17^i.19^j.23^k.29^l.31^m.37^n.41^p.43^q.47^r$ (trong bài này các số mũ đều là số tự nhiên)

Trong đó $c=\left \lfloor \frac{50}{2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{2^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{2^3} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{2^4} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{2^5} \right \rfloor=47$

               $d=\left \lfloor \frac{50}{3} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{3^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{3^3} \right \rfloor=22$

               $e=\left \lfloor \frac{50}{5} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{50}{5^2} \right \rfloor=12$

Tương tự, $f=8$ ; $g=4$ ; $h=3$ ; $i=j=k=2$ ; $l=m=n=p=q=r=1$

Vậy $50!=2^{47}.3^{22}.5^{12}.7^8.11^4.13^3.17^2.19^2.23^2.29^1.31^1.37^1.41^1.43^1.47^1$ 

Và $5!=2^{3}.3^{1}.5^{1}.7^0.11^0.13^0.17^0.19^0.23^0.29^0.31^0.37^0.41^0.43^0.47^0$

Bây giờ giả sử :

$a=2^{c_1}.3^{d_1}.5^{e_1}.7^{f_1}.11^{g_1}.13^{h_1}.17^{i_1}.19^{j_1}.23^{k_1}.29^{l_1}.31^{m_1}.37^{n_1}.41^{p_1}.43^{q_1}.47^{r_1}$

$b=2^{c_2}.3^{d_2}.5^{e_2}.7^{f_2}.11^{g_2}.13^{h_2}.17^{i_2}.19^{j_2}.23^{k_2}.29^{l_2}.31^{m_2}.37^{n_2}.41^{p_2}.43^{q_2}.47^{r_2}$

Ta chỉ cần thay $47$ và $3$ vào $c_1$ và $c_2$ ($2$ cách), thay $22$ và $1$ vào $d_1$ và $d_2$ ($2$ cách), ..., thay $1$ và $0$ vào $r_1$ và $r_2$ ($2$ cách).

$\Rightarrow$ số cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn là $2^{15}=32768$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-07-2019 - 04:12