Đến nội dung

Hình ảnh

$1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
supreme king

supreme king

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Chứng minh rằng

 

$S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$



#2
Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$

 

THCS bữa nay khó thế :(((


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sugar: 24-07-2019 - 15:46


#3
supreme king

supreme king

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết


Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$

 

THCS bữa nay khó thế :(((

 chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 01-08-2019 - 20:15


#4
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

 chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn

Bất đẳng thức Bernoulli đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 01-08-2019 - 21:06

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh