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[supreme king]

Cho $a> b> c> 0$. Chứng minh rằng

 

$a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}> a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$

[phamv]

Cho $a> b> c> 0$. Chứng minh rằng

 

$a^{3}b^{2}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}> a^{2}b^{3}+b^{2}c^{3}+c^{2}a^{3}$

BĐT $\Leftrightarrow a^{3}(b^{2}-c^{2})+b^{2}c^{2}(b-c)-a^{2}(b^{3}-c^{3})> 0$

$\Leftrightarrow (b-c)(a^{3}b+a^{3}c+b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}-a^{2}bc)> 0$

$\Leftrightarrow (b-c)(a-b)(a^{2}b+a^{2}c-c^{2}a-c^{2}b)> 0$

$\Leftrightarrow (b-c)(a^{2}b(a-b)+a^{2}c(a-b)-c^{2}(a^{2}-b^{2}))> 0$

$\Leftrightarrow (b-c)(a-b)(b(a^{2}-c^{2})+ac(a-c))> 0$

$\Leftrightarrow (b-c)(a-b)(a-c)(ab+bc+ca)> 0$  ( đúng)

BĐT cuối đúng nên ta có đpcm