Cho các số thực $ a,b,c \geq 2 $ thỏa mãn điều kiện $ a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 $.
CMR $ \sum ab \leq 27 $
Cho các số thực $ a,b,c \geq 2 $ thỏa mãn điều kiện $ a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 $.
CMR $ \sum ab \leq 27 $
Sau khi tham khảo trên AOPS thì cuối cùng mình cũng biết được 1 cách chứng minh rất hay cho bài này.
Đặt $ a = x + 2 , b = y +2, z = c + 2, t = x+y+z $ với $ x,y,z \geq 0 $ , giả thiết trở thành: $ \sum x = \sum \frac{1}{a+2} + 2 \Rightarrow 7 = 2 \sum x + \sum \frac{x}{x+2} $ Xử lí giả thiết:
$ 7 = 2\sum x + \sum \frac{x}{x+2} = 2t + \sum \frac{x^2}{x^2+2x} \geq 2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} $.
Xét $ 0 \leq t \leq 3 $: $ \sum ab \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{(t+6)^2}{3} \leq 27 $.
Xét $ t \geq 3 $: $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $. Ta có $ 7 \geq 2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} \Rightarrow 7\sum x^2 + 14t \geq 2t \sum x^2 + 4t^2 \geq 6 \sum x^2 + 4t^2 \Rightarrow \sum x^2 + 14t \geq 4t^2 \Rightarrow \sum xy \leq 7t - 2t^2 $. Thay vào $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $ ta có $ \sum ab \leq -2t^2 +11t + 12 = 27 - (t-3)(2t-5) \leq 27 $.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 24-07-2019 - 22:42
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh