Chủ đề này có 1 trả lời

[Sin99]

Cho các số thực $ a,b,c  \geq 2 $ thỏa mãn điều kiện $ a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 $.

CMR  $ \sum ab \leq 27 $ 

[Sin99]

Sau khi tham khảo trên AOPS thì cuối cùng mình cũng biết được 1 cách chứng minh rất hay cho bài này. 

Đặt $ a = x + 2 , b =  y +2, z = c + 2, t = x+y+z  $ với $ x,y,z \geq 0 $ , giả thiết trở thành: $ \sum x = \sum \frac{1}{a+2} + 2  \Rightarrow 7 = 2 \sum x + \sum \frac{x}{x+2} $ Xử lí giả thiết:

$  7 = 2\sum x + \sum \frac{x}{x+2} = 2t + \sum \frac{x^2}{x^2+2x} \geq 2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} $.

Xét $ 0 \leq t \leq 3 $: $ \sum ab \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{(t+6)^2}{3} \leq  27 $.

Xét $ t \geq 3 $: $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $. Ta có $ 7 \geq  2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} \Rightarrow 7\sum x^2 + 14t \geq 2t \sum x^2 + 4t^2 \geq 6 \sum x^2 + 4t^2 \Rightarrow \sum x^2 + 14t \geq 4t^2 \Rightarrow \sum xy \leq 7t - 2t^2 $. Thay vào $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $ ta có $ \sum ab \leq -2t^2  +11t + 12 = 27 - (t-3)(2t-5) \leq 27 $. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 24-07-2019 - 22:42