Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR \sum ab \leq 27

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 20-07-2019 - 14:58

Cho các số thực $ a,b,c  \geq 2 $ thỏa mãn điều kiện $ a+b+c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 $.

CMR  $ \sum ab \leq 27 $ 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 24-07-2019 - 22:37

Sau khi tham khảo trên AOPS thì cuối cùng mình cũng biết được 1 cách chứng minh rất hay cho bài này. 

Đặt $ a = x + 2 , b =  y +2, z = c + 2, t = x+y+z  $ với $ x,y,z \geq 0 $ , giả thiết trở thành: $ \sum x = \sum \frac{1}{a+2} + 2  \Rightarrow 7 = 2 \sum x + \sum \frac{x}{x+2} $ Xử lí giả thiết:

$  7 = 2\sum x + \sum \frac{x}{x+2} = 2t + \sum \frac{x^2}{x^2+2x} \geq 2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} $.

Xét $ 0 \leq t \leq 3 $: $ \sum ab \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{(t+6)^2}{3} \leq  27 $.

Xét $ t \geq 3 $: $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $. Ta có $ 7 \geq  2t + \frac{t^2}{\sum x^2 + 2t} \Rightarrow 7\sum x^2 + 14t \geq 2t \sum x^2 + 4t^2 \geq 6 \sum x^2 + 4t^2 \Rightarrow \sum x^2 + 14t \geq 4t^2 \Rightarrow \sum xy \leq 7t - 2t^2 $. Thay vào $ \sum ab = \sum xy + 4t + 12 $ ta có $ \sum ab \leq -2t^2  +11t + 12 = 27 - (t-3)(2t-5) \leq 27 $. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 24-07-2019 - 22:42

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh