Chủ đề này có 15 trả lời

[qtd]

Câu hỏi của mình là như trên, trong từ điển nó ghi là siêu phẳng nhưng mình không hiểu cụ thể nó là như thế nào. Hơn nữa còn có rất nhiều từ có tiền tố hyper đều được dịch là "siêu". như hyperlink, hypertext ....Không hiểu thế nào

[thuantd]

siêu phẳng nhưng mình không hiểu cụ thể nó là như thế nào.

Trong không gian n chiều thì mỗi không gian n-1 chiều gọi là một siêu phẳng.
Một số không gian và siêu phẳng hay gặp trong toán học:
Đường thẳng (1 chiều) --> siêu phẳng là điểm (0 chiều).
Mặt phẳng (2 chiều) --> siêu phẳng: đường thẳng (1 chiều).
Không gian 3 chiều --> siêu phẳng: mặt phẳng
....
Không gian n chiều --> siêu phẳng: không gian n-1 chiều.

[Kakalotta]

là nghiệm của một phiến hàm tuyến tính không tầm thường.

[Polytopie]

Hyperplane là cách gọi tổng quát của các "mặt phẳng" n-1 chiều trong một không gian n chiều. Ví dụ trong không gian 3 chiều - để dễ hình dung thì chúng ta lấy hệ trục tọa độ OXYZ phẳng để biểu thị cho không gian 3 chiều Euclid. Vậy thì bất cứ một mặt phẳng 2 chiều nào cũng là một hyperplane của OXYZ, ví dụ OXY, OXZ hay một mặt phẳng như 3X + 2Y + 5Z=0.
Định nghĩa tổng quát của một hyperplane là:

H:= a1X1 + a2X2 + .... + aNXN =0 trong hệ trục tọa độ OX1X2X3....XN
-----------------

Chú ý là chữ "mặt phẳng" ở đây có tính tương đối, vì trong không gian 4 chiều R^4 chẳng hạn, thì "mặt phẳng" này có hình thù tương tự (isomorphic) với cả không gian 3 chiều R³ bình thường. Nói chung từ 4 chiều trở lên thì việc tưởng tượng hình học đi vào ngõ cụt và hình ảnh của nó rất trái ngược với intuition của con người.

[math0]

Rất trái ngược là thế nào? Polytopie cho ví dụ thử xem.

[thuantd]

Rất trái ngược là thế nào? Polytopie cho ví dụ thử xem.

Ý của bác ấy là trực giác của con người khó mà tưởng tượng ra được. Nếu không tin, bạn hãy thử tưởng tượng không gian 4 chiều, 5 chiều, 6 chiều... xem thế nào. Nó giống như thừa nhận sự tồn tại của nguyên tử nhưng không thể nhìn bằng mắt thường đấy.

[Polytopie]

Không cần phải nói đến chuyện không gian 4, 5 chiều khó tưởng tượng. Mà chỉ cần nhìn 2 hình ảnh thế này là thấy trực quan của con người không thể hiểu được:

1 hyperplane của không gian 3 chiều (Euclid đi cho dễ hiểu) là một mặt phẳng bình thường. Vậy là chúng ta thấy được 2 mặt biên giới của nó (mặt trên và dưới chia không gian 3 chiều ra làm đôi) trong không gian 3 chiều. Tức là cho dù nó có mở rộng đến đâu, người ta vẫn có thể tưởng tượng ra hình thù của nó: một mặt phẳng trải rộng mãi mãi.

Thế nhưng 1 hyperplane trong không gian 4 chiều là một không gian 3 chiều bình thường. Mà không gian 3 chiều - tức được mở rộng cả theo 3 trục, thì không có bất cứ một giới hạn nào về hướng cả: hình ảnh thu nhỏ mà chúng ta quen tưởng tượng ra cho một không gian 3 chiều sẽ là một hình lập phương chẳng hạn (do quen nhìn hệ trục tọa độ OXYZ). Nhưng hình ảnh này không đủ để biểu diễn bản thân không gian 3 chiều phẳng. Thực chất: không gian 3 chiều không có hình thù gì cả- rất trái ngược với hình ảnh mặt phẳng hay đường thẳng vẫn là những hình có hình thù.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 27-07-2006 - 18:24

[Kakalotta]

Moi nguoi toan noi rat linh tinh. The neu khong gian la vo han chieu thi sao? Di dem so chieu a?

[math0]

Ở Mỹ dạo này nóng hay sao ma Kaka có vẻ nóng nhỉ? Lần đầu tiên math0 nghe đến khái niệm Hyperplane ở không gian vô hạn chiều đấy. Thế ứng dụng của Hyperplane trong không gian vô hạn chiều là để làm gì vậy hả Kaka?

[Kakalotta]

Ứng dụng trong không gian vô hạn chiều thì thiếu quái gì. Ví dụ trong mấy cái định lý tách tập lồi bằng một siêu phẳng tựa, KreinMilman, Choquet, Hanhbanach.

[math0]

Hì kiến thức math0 thật là hữu hạn. Lôi Hahn Banach ra mới nhớ. Vậy mấy cái hyperplane Kaka nói là đóng hay không vậy? Mà mấy cái định lý tách tập lồi dùng để làm gì nhỉ?

[Kakalotta]

Nếu hỏi định lý tách tập lồi dùng để làm gì thì càng chịu. đây là một trong định lý quan trọng nhất của giải tích hàm, bắt kể hét ra thì kể thế quái nào mà hết được.
Siêu phẳng thì hiển nhiên có thể đóng hoặc trù mật.

[Polytopie]

Quả thật về không gian vô hạn chiều thì mình chịu không biết, không có ý kiến. Còn khi định nghĩa dimension của một không gian, nếu đã dùng Index n cho nó thì dẫn đến một việc là có thể định nghĩa được một hyperplane n-1 chiều rồi. Nói chung, mình đã nói chúng ta nói đến không gian phẳng Euclid cho dễ, chứ có vô số các loại không gian (hình học) và không gian (đại số, giải tích) khác mà người ta đã định nghĩa, và trong mỗi một loại ấy, có thể tồn tại khái niệm hyperplane hoặc không - tùy theo các vị cha đẻ của các loại không gian ấy.

[TieuSonTrangSi]

Mà mấy cái định lý tách tập lồi dùng để làm gì nhỉ?

Mình biết một ứng dụng "cụ thể" của định lý tách tập lồi : người ta dùng Hahn-Banach để chứng minh tồn tại nhân tử Lagrange trong các bài toán tối ưu dưới ràng buộc (constrained optimization), trong không gian hữu/vô hạn chiều.

[Alexi Laiho]

Tự dưng lọ mọ thế nào lại vào cái topic này. 1 hyperplane or hypersurface or whatever you want được hiểu trong affine geometry là tập đại số (bất khả quy) trong 1 không gian affine và do đó cho bởi 1 đa thức bất khả quy. Tuy nhiên định nghĩa như thế này rất thiếu chính xác, mặc dù về mặt hình học nó khá thuận tiện khi tưởng tượng và làm việc với hyperplane bundles. 1 cách định nghĩa khác chuẩn xác hơn: 1 hyperplane/hypersurface được hiểu như 1 prime cycle of codimension 1 (we are working over category of schemes).

[triemqbh]

Ở Mỹ dạo này nóng hay sao ma Kaka có vẻ nóng nhỉ? Lần đầu tiên math0 nghe đến khái niệm Hyperplane ở không gian vô hạn chiều đấy. Thế ứng dụng của Hyperplane trong không gian vô hạn chiều là để làm gì vậy hả Kaka?

Tồn tại siêu phẳng không đóng trong không gian vô hạn chiều.