Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Cho tam giác ABC, D là điểm trên BC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh BC tại E, đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với cạnh BC tại F, đồng thời hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng d khác BC, đường thẳng d cắt AD tại I. CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $

[phamv]

Cho tam giác ABC, D là điểm trên BC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh BC tại E, đường tròn nội tiếp tam giác ACD tiếp xúc với cạnh BC tại F, đồng thời hai đường tròn này cùng tiếp xúc với đường thẳng d khác BC, đường thẳng d cắt AD tại I. CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $

Gọi F,G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, ACD; M,L lần lượt là tiếp điểm của (F),(G) với d ; H,I lần lượt là tiếp điểm của (F),(G) với BC; J,K lần lượt là tiếp điểm của (F) ,(G) với AD

Dễ dàng chứng minh AB=AJ+BH, AC=AK+CI, HI=ML=MI+IL=IJ+IK

=>AB+AC-BC=(AJ+BH)+(AK+CI)-(BH+CI+HI)=AJ+AK-IJ-IK=(AJ-IJ)+(AK-IK)=2AI

=>$ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $ (đpcm)