Chủ đề này có 3 trả lời

[MaiHuongTra]

Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

[Sin99]

Giả sử $ x ,y ,z $ là bộ nghiệm thỏa $ x + y + z $ nhỏ nhất. 

Xét TH có 2 số lẻ và 1 số chẵn. 

VT $ \equiv  1 + 1 + 0 \equiv  2 $ (mod 4).

VP $\equiv  0 $ (mod 4) .Vô lí !

Vậy cả 2 số đều cùng chẵn. Đặt $ x =2x_{1}, y=2y_{1}, z = 2z_{1} $ phương trình tương đương: 

$ x_{1}^2 + y_{1}^2 +  z_{1} ^2 = 4x_{1}y_{1}z_{1}  $ Tiếp tục lập luận như trên ta suy ra tồn tại $ x_{n} , y_{n}, z_{n} $ chẵn với $ n > 2 $. Quá trình này sẽ lặp lại vô số lần nên luôn có nghiệm $ x_{n} <  x , y_{n} < y, z_{n} < z $ ( trái với giả thiết ).

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên dương.

[MaiHuongTra]

 

$ x_{1}^2 + y_{1}^2 +  z_{1} ^2 = 4x_{1}y_{1}z_{1}  $ Tiếp tục lập luận như trên ta suy ra tồn tại $ x_{n} , y_{n}, z_{n} $ chẵn với $ n > 2 $. Quá trình này sẽ lặp lại vô số lần nên luôn có nghiệm $ x_{n} <  x , y_{n} < y, z_{n} < z $ ( trái với giả thiết ).

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên dương.

Chỗ này làm sao nói $ x_{n} <  x , y_{n} < y, z_{n} < z $ cũng là nghiệm vậy bạn? Tại vì nếu làm lặp lại tương tự như trên thì $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2^{n+1}x_{n}y_{n}z_{n}$ chứ đâu có phải là $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2x_{n}y_{n}z_{n}$ đâu nhì? 

[Sin99]

Chỗ này làm sao nói $ x_{n} <  x , y_{n} < y, z_{n} < z $ cũng là nghiệm vậy bạn? Tại vì nếu làm lặp lại tương tự như trên thì $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2^{n+1}x_{n}y_{n}z_{n}$ chứ đâu có phải là $x_{n}+y_{n}+z_{n}=2x_{n}y_{n}z_{n}$ đâu nhì? 

Em có 1 chút nhầm lẫn đoạn này như chị nói  . Quá trình đó lặp lại nên ta có $ x \vdots  2^n $ và $ n \in Z $, n tiến đến vô cực , suy ra $ x = 0 $ . Tương tự với $ y =z = 0 $.