Chủ đề này có 1 trả lời

[Sin99]

Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa $ abc = 1$. CMR: 

$ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $

[Arthur Pendragon]

Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ với $x,y,z$ dương.

Khi đó ta có:

$VT=3\sum \frac{y^2}{xz+y^2+yz} \geq 3\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=3$

Lại có:$6-VP=3\sum \frac{a}{a+2}=3\sum\frac{x}{x+2y}=3\sum\frac{x^2}{x^2+xy} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=3$

Do đó $VP\leq 3$

Từ đó suy ra $VT \geq 3 \geq VP$ (Q.E.D)