Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSGQG TỈNH ĐỒNG THÁP

hsg tst đề thi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 25-07-2019 - 15:53

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSGQG TỈNH ĐỒNG THÁP

Hình gửi kèm

  • 66859567_2645184972182394_2114167187252969472_n.jpg

"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 25-07-2019 - 23:30

Mình chưa học dãy nên tạm làm câu 2  :icon6: 

Hệ tương đương:

$ \left\{\begin{matrix} xy = 2 + \sqrt{2y^2+4y+4}  (1)\\  xy = 2+ \sqrt{2x^2+4x+4} (2) \end{matrix}\right. $

(2) - (1) : $ \sqrt{2x^2+4x+4} -  \sqrt{2y^2+4y+4}  = 0 $ 

$ \Leftrightarrow (x -y) (x+y  +2) = 0 $.

Xử lí TH $ x + y  +2 = 0 $ $ \Leftrightarrow x = - 2 -y $. Thay vào (1) ta được : 

$ ( -2 -y)y = 2 + \sqrt{2y^2+4y+4} $ 

$  \Leftrightarrow  2y^2 + 4y + 4 + 2\sqrt{2y^2+4y+4} = 0 $

$  \Leftrightarrow 2y^2+4y+4 = 0 $ hoặc $ 2y^2+4y+4 = - 2 $ 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#3 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 26-07-2019 - 00:05

Bài 3: Bất đẳng thức tương đương: 

$ (\sum ab)^2 + (\sum a)^2 \geq 18abc $.

Áp dụng AM-GM: VT $ \geq  2(\sum ab)(\sum a) \geq 2.3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\sqrt[3]{abc} = 18abc $ = VP.

Dấu "=" khi a = b = c = 1.


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#4 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 26-07-2019 - 07:45

Bài 3: Bất đẳng thức tương đương: 

$ (\sum ab)^2 + (\sum a)^2 \geq 18abc $.

Áp dụng AM-GM: VT $ \geq  2(\sum ab)(\sum a) \geq 2.3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\sqrt[3]{abc} = 18abc $ = VP.

Dấu "=" khi a = b = c = 1.

Chú ý là a,b,c chỉ là các số thực thôi nhé,  nên không dùng được AM-GM như vậy đâu..


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#5 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 136 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 26-07-2019 - 08:35

Bài 1:

a. Biến đổi: $x_n=2\left(1-\frac{1}{2n^2+\sqrt{4n^4+1}}\right) \\ = 2\left(1+2n^2-\sqrt{(2n^2+2n+1)(2n^2-2n-1)}\right) \\ = \left(\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}\right)^2$

Do đó: $\sqrt{x_n}=\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1} = \sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2(n-1)^2+2(n-1)+1}=u_n-u_{n-1}$

Với $u_n=\sqrt{2n^2+2n+1}$

Do đó $S_n=\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}(u_i-u_{i-1})=u_n-u_0=\sqrt{2n^2+2n+1}-1$

Thay n=20 ta được $S_n=28$

b. Theo a, $S_n=\sqrt{2n^2+2n+1}-1$

Để $S_n$ nguyên thì $2n^2+2n+1=k^2(k \in\mathbb{Z}) \\ 2k^2-(2n+1)^2=1$. Đặt $2n+1=t$ .Dễ thấy cặp $(k;t)=(5;7)$ thỏa mãn.

Mặt khác, chứng minh được rằng nếu $(k;t)=(n_0,k_0)$ thỏa mãn đẳng thức trên thì cặp $(k;t)=\left(\frac{(k_0+t_0\sqrt{2})^x+(k_0-t_0\sqrt{2})^x}{2};\frac{(k_0+t_0\sqrt{2})^x-(k_0-t_0\sqrt{2})^x}{2\sqrt{2}}\right)$ cũng thỏa mãn.

Từ đây suy ra đpcm.


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#6 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 412 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 26-07-2019 - 09:44

Bài 3: Bất đẳng thức tương đương: 

$ (\sum ab)^2 + (\sum a)^2 \geq 18abc $.

Áp dụng AM-GM: VT $ \geq  2(\sum ab)(\sum a) \geq 2.3.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\sqrt[3]{abc} = 18abc $ = VP.

Dấu "=" khi a = b = c = 1.

Mình xin sửa lại lời giải như sau khi tham khảo và tìm hiểu ở tài liệu tác giả Nguyễn Văn Huyện.

Đặt $ a = x + 1,  b = y  +1, c = z+1  \Rightarrow x + y  +z = 0  $.  BĐT tương đương 

$ (\sum xy ) ^2 \geq 12( \sum xy ) + 18xyz. $

Ta thấy $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên tồn tại ít nhất 1 số $ \geq 0 $, giả sử $ xy \geq 0 $. Rút $ z = -x -y $ ta được : 

$ ( x^2 + y^2  +xy)^2 + 12(x^2 + xy+y^2)  +18xy(x+y) \geq 0 $ 

Ta có $ (x^2  + xy + y^2) \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $ với $ xy  \geq 0 $.  Áp dụng suy ra 

VT $ \geq 9x^2y^2 + 9(x+y)^2 + 18xy(x+y)  $ 

Ta cần chứng minh  $  9x^2y^2 + 9(x+y)^2 + 18xy(x+y) \geq 0 $  hay $ x^2y^2 + (x+y)^2 + 2xy(x+y) \geq 0 $. BĐT đúng do $ (xy + x + y )^2 \geq 0 $. 

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 26-07-2019 - 10:29

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hsg, tst, đề thi

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh