Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 25-07-2019 - 18:57


#2
Khoipro999

Khoipro999

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Do a ; b ; c là 3 cạnh $\Delta \Rightarrow a+b-c > 0 ; b + c - a > 0 ; a + c - b > 0$

AD BĐT phụ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ ( bn tự c/m ) , ta có : 

$\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} \geq \frac{4}{a+b-c+b+c-a} = \frac{2}{b}$  (1) 

Tương tự : $\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{a}$  (2) 

$\frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{c}$  (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) , ta có : $2(\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b}) \geq 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Dấu " = " xảy ra <=> a + b - c = b + c - a = c + a - b 

<=> a = b = c 

Vậy ... 


Không có áp lực thì không có kim cương  :closedeyes:

                                                                                                                                                

 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh