Chủ đề này có 1 trả lời

[Kitaro1006]

Tìm GTLN của biểu thức P = $\frac{2(2ab+ac+bc)}{1+2a+b+3c}+\frac{8-b}{b+c+b(a+c)+8}+\frac{b}{\sqrt{12a^2+3b^2+27c^2}+8}$

Với $0\leqslant a\leqslant 1; 0\leqslant b\leq 2; 0\leqslant c\leqslant 3$

[Arthur Pendragon]

Ta có:

$12a^2+3b^2+27c^2-(2a+b+3c)^2=\frac{(4a-b-3c)^2}{2}+(b-3c)^2 \geq 0$

Do đó $\sqrt{12a^2+3b^2+27c^2} \geq 2a+b+3c =(b+c)+2(a+c) \geq b+c+b(a+c) \geq a(b+c)+b(a+c) = 2ab+ac+bc$

(Do $a \in [0;1];b \in [0;2];c \in [0;3]$).

Do vậy:

$P \leq \frac{2(2ab+bc+ca)}{1+2ab+bc+ca}+\frac{8-b}{2ab+bc+ca+8}+\frac{b}{2ab+bc+ca+8}$

Đặt  $2ab+bc+ca=t \geq 0$. Khi đó

$P\leq \frac{2t}{t+1}+\frac{8}{t+8} \leq \frac{2t}{t+1}+\frac{4}{\sqrt{7(t+1)}} \leq \frac{2t}{t+1}+\frac{2}{t+1}+\frac{2}{7}=2+\frac{2}{7}=\frac{16}{7}$

Vậy $MaxP=\frac{16}{7}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1;b=2;c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 04-08-2019 - 17:02