Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: xy/(x+y) +yz(y+z) +zx/(z+x)<= (x+y+z)/2
GIúp với ạ!
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: xy/(x+y) +yz(y+z)+zx(z+x) <= (x+y+z)/2
Bắt đầu bởi Ha Hoang Nguyen, 30-07-2019 - 10:13
#2
Đã gửi 30-07-2019 - 10:37
Khoipro999
-
- Thành viên mới
-
- 23 Bài viết
Binh nhất
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: xy/(x+y) +yz(y+z) +zx/(z+x)<= (x+y+z)/2
GIúp với ạ!
Ta có : Do x ; y ; z > 0 nên :
$\frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$
Đặt 1/x = a ; 1/y = b ; 1/z = c (a;b;c>0 do x ; y ; z > 0)
=> x + y + z = 1/a + 1/b + 1/c
Khi đó , ta cần c/m : $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}$
Áp dụng BĐT phụ : 1/x + 1/y >= 4/x+y ( cái này bn tự c/m ) , ta có :
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} ; \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b+c} ; \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{a+c}$
$\Rightarrow 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$
$\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c }+\frac{1}{a+c})$
=> điều cần c/m
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c
hay 1/x = 1/y = 1/z <=> x = y = z
Vậy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoipro999: 30-07-2019 - 10:45
- thanhdatqv2003, ThinhThinh123 và Ha Hoang Nguyen thích
Không có áp lực thì không có kim cương 
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
