Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 DBS

DBS

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết

Đã gửi 30-07-2019 - 14:33

Cho $a, b, c \epsilon Z$ và $a+b+c \vdots 4$

Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$



#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 326 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 30-07-2019 - 15:31

Do $a+b+c\ \vdots \ 4$ nên ta đặt $4k=a+b+c$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó ta có

\begin{align*} A&=(a+b)(b+c)(c+a)-abc \\ &=(a+b)(4k-a)(4k-b)-ab(a+b) \\ &=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  ) \end{align*}

 

Nếu trong hai số $a$, $b$ có một số chẵn thì $ab$ chẵn, nếu $a$, $b$ đều lẻ thì $a+b$ chẵn, do đó ta luôn có $ab(a+b)$ chẵn.

 

Vậy ta có $A=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  )\ \vdots \ 4$.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3 Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 262 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 30-07-2019 - 18:31

Một cách hơi khác ạ, ta có HĐT quen thuộc: 

$ (a+b)(b+c)(a+c) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc $. 

Do $ a+b+c = 4 $ là số chẵn nên ít nhất 1 trong 3 số $ a,b,c $ chẵn, suy ra $ abc   \  \vdots   \ 2  \Rightarrow 2abc  \  \vdots  \   4 $. 

Vậy A = $ (a+b+c)(ab+bc+ac) - 2abc  \ \vdots  \  4 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 30-07-2019 - 18:33

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh