Cho $a, b, c \epsilon Z$ và $a+b+c \vdots 4$
Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$
Cho $a, b, c \epsilon Z$ và $a+b+c \vdots 4$
Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$
Do $a+b+c\ \vdots \ 4$ nên ta đặt $4k=a+b+c$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó ta có
\begin{align*} A&=(a+b)(b+c)(c+a)-abc \\ &=(a+b)(4k-a)(4k-b)-ab(a+b) \\ &=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k ) \end{align*}
Nếu trong hai số $a$, $b$ có một số chẵn thì $ab$ chẵn, nếu $a$, $b$ đều lẻ thì $a+b$ chẵn, do đó ta luôn có $ab(a+b)$ chẵn.
Vậy ta có $A=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k )\ \vdots \ 4$.
Một cách hơi khác ạ, ta có HĐT quen thuộc:
$ (a+b)(b+c)(a+c) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc $.
Do $ a+b+c = 4 $ là số chẵn nên ít nhất 1 trong 3 số $ a,b,c $ chẵn, suy ra $ abc \ \vdots \ 2 \Rightarrow 2abc \ \vdots \ 4 $.
Vậy A = $ (a+b+c)(ab+bc+ac) - 2abc \ \vdots \ 4 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 30-07-2019 - 18:33
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh