Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

Cho $a, b, c \epsilon Z$ và $a+b+c \vdots 4$

Chứng minh: $A=(a+b)(b+c)(c+a)-abc\vdots 4$



#2
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Do $a+b+c\ \vdots \ 4$ nên ta đặt $4k=a+b+c$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó ta có

\begin{align*} A&=(a+b)(b+c)(c+a)-abc \\ &=(a+b)(4k-a)(4k-b)-ab(a+b) \\ &=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  ) \end{align*}

 

Nếu trong hai số $a$, $b$ có một số chẵn thì $ab$ chẵn, nếu $a$, $b$ đều lẻ thì $a+b$ chẵn, do đó ta luôn có $ab(a+b)$ chẵn.

 

Vậy ta có $A=2ab(a+b)+4 (4 a k^2 + 4 b k^2 - a^2 k - b^2 k- 3 a b k  )\ \vdots \ 4$.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Một cách hơi khác ạ, ta có HĐT quen thuộc: 

$ (a+b)(b+c)(a+c) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc $. 

Do $ a+b+c = 4 $ là số chẵn nên ít nhất 1 trong 3 số $ a,b,c $ chẵn, suy ra $ abc   \  \vdots   \ 2  \Rightarrow 2abc  \  \vdots  \   4 $. 

Vậy A = $ (a+b+c)(ab+bc+ac) - 2abc  \ \vdots  \  4 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 30-07-2019 - 18:33





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh