Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\text{supp}s$ trong lược đồ $\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy)$

lược đồ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1536 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 30-07-2019 - 19:35

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 31-07-2019 - 06:27

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-08-2019 - 17:14

Với một không gian định vành (ringed space) $(X,\mathscr{O}_X)$ và môt lát cắt toàn cục (global section) $s \in \mathscr{O}_X$ ta luôn xét được giá (support) của nó được định nghĩa là
$$\text{supp}s = \left \{\mathfrak{p} \in X: [s,X] \neq 0 \in \mathscr{O}_{X,\mathfrak{p}} = \underrightarrow{\lim}_{\mathfrak{p} \in U}\mathscr{O}_X(U) \right \}$$
có thể chứng minh giá là một tập đóng. Ở đây ta xét:
$$(X,\mathscr{O}_X) = (\text{Spec} \ k[x,y]/(y^2,xy), \mathscr{O}_{\text{Spec } \ (k[x,y]/(y^2,xy)}))$$
trong đó $k$ là trường, không nhất thiết đóng đại số. Mình có hai câu hỏi, mình chứng minh được một nhưng vẫn hơi phân vân; ai có thể viết rõ toàn bộ ra thì tốt
$i)$ $(x,y)$ là điểm duy nhất trong $X$ mà stalk tại đó là không rút gọn (có nilradical không tầm thường).
$ii)$ Với mọi $s$ là lát cắt toàn cục thì $\text{supp}s$ chỉ là ba trường hợp, tập rỗng, $(x,y)$ hoặc toàn bộ không gian.

1. Lược đồ $X=Spec(k[x,y]/(y^2,xy))$ về mặt topo đồng phôi với đường thẳng $Spec(k[x])$ nên dựa vào đây ta dự đoán rằng $X-(x,y)$ đẳng cấu với $Spec(k[x]_x).$ Điều này tương đương với sự tồn tại của một đẳng cấu $$k[x]_x \rightarrow k[x,y]/(y^2,xy)_x$$ mà ta có thể định nghĩa như sau: $f(x)/x^n \mapsto \overline(f(x))/ \overline(x)^n.$

Rõ ràng ánh xạ định nghĩa như trên là đẳng cấu. Mỗi phần tử trong $k[x,y]/(y^2,xy)$ viết được dưới dạng $ay+f(x)$, nhưng vì $x$ khả nghịch trong $k[x,y]/(y^2,xy)_x$ nên quan hệ $xy=0$ dẫn tới $y=0.$ Như vậy ánh xạ trên cũng là toàn ánh. Do $k[x]_x$ là nguyên nên thớ của X tại các điểm tại đó $x$ khác 0 là rút gọn. Tại $x=0$ ta có $y^2=0$ trong khi $y$ khác 0, vì nếu $y=0$ trong thớ $X_(x,y)$ thì tồn tại một đa thức f(x,y) không thuộc (x,y) sao cho $f(x,y)y \in (y^2,xy),$ mâu thuẫn.  

 

2. Đầu tiên ta chỉ ra nếu $supp s$ không chứa $(x,y)$ thì $supp s$ rỗng. Như vậy tồn tại $f \notin (x,y)$ sao cho $fs \in (y^2,xy).$ Suy ra $s \in (y).$ Lập luận như trong 1, ta thấy $s=0$ trên $X-(x,y).$ Trong trường hợp $supp s$ chứa $(x,y)$ và không chứa 1 điểm nào đó khác. Do $X-(x,y)$ là lược đồ affine nguyên nên ta suy ra $s|_{(X-(x,y))}=0.$ Ta lấy một ví dụ để chỉ ra thật sự có một lát cắt mà giá của nó là $(x,y).$ Chẳng hạn như $y.$ Việc chỉ ra $y$ khác 0 trong $X_{(x,y)}$ đã làm ở trong 1.   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 08-08-2019 - 17:16






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lược đồ

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh