Chủ đề này có 5 trả lời

[supreme king]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

[Arthur Pendragon]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 04-08-2019 - 15:24

[supreme king]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$

Tại sao lại tương đương bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 04-08-2019 - 16:09

[Arthur Pendragon]

Tại sao lại tương đương bạn

$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$

[supreme king]

$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 04-08-2019 - 16:28

[KietLW9]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:$(a+2b)^2=(\frac{2a+b}{2}+\frac{3a}{2})^2\geq 4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b(2a+b)$

$\Rightarrow \frac{2a+b}{a(a+2b)}\leq \frac{a+2b}{3ab}$

Tương tự đối với các BĐT còn lại, ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c