Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Arthur Pendragon: 04-08-2019 - 15:24
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{a+2b}+\frac{3}{b+2c}+\frac{3}{c+2a} $$
Tại sao lại tương đương bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 04-08-2019 - 16:09
Tại sao lại tương đương bạn
$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
$\frac{2(2a+b)}{a(a+2b)}-\frac{1}{a}=\frac{4a+2b-a-2b}{a(a+2b)}=\frac{3a}{a(a+2b)}=\frac{3}{a+2b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supreme king: 04-08-2019 - 16:28
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:$(a+2b)^2=(\frac{2a+b}{2}+\frac{3a}{2})^2\geq 4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b(2a+b)$
$\Rightarrow \frac{2a+b}{a(a+2b)}\leq \frac{a+2b}{3ab}$
Tương tự đối với các BĐT còn lại, ta được: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2a+b}{a\left ( a+2b \right )}+\frac{2b+c}{b\left ( b+2c \right )}+\frac{2c+a}{c\left ( c+2a \right )}$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh