Cho$x,y\geq 0$ và$x^{2}+y^{2}\doteq 1$. Chứng minh rằng
$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
Bắt đầu bởi supreme king, 04-08-2019 - 15:22
#2
Đã gửi 04-08-2019 - 17:07
Arthur Pendragon
-
- Thành viên
-
- 134 Bài viết
Trung sĩ
Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$
Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$
Mặt khác, theo BĐT Holder:
$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
#3
Đã gửi 05-08-2019 - 15:10
supreme king
-
- Thành viên mới
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$
Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$
Mặt khác, theo BĐT Holder:
$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Mình chưa học Holder nên bạn còn cách khác không
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
