Cho $a,b,c \geq \frac{1}{2}$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$$ab+bc+ca \geq 3\sqrt{abc+ab+bc+ca-4}$$
Cho $a,b,c \geq \frac{1}{2}$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$$ab+bc+ca \geq 3\sqrt{abc+ab+bc+ca-4}$$
"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"
-SHERLOCK HOLMES-
Đặt $ a = x + 2, b = y +2 , c = z +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $
BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $
$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $
$ \Leftrightarrow (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.
Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.
Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.
Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có VT $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $
Ta chỉ cần chứng minh $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 07-08-2019 - 08:43
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh