Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho $a,b,c \geq \frac{1}{2}$ và $a+b+c=6$. Chứng minh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng, Việt Nam
  • Sở thích:làm toán & nghe nhạc của Vũ.

Đã gửi 06-08-2019 - 22:18

Cho $a,b,c \geq \frac{1}{2}$ và $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

$$ab+bc+ca \geq 3\sqrt{abc+ab+bc+ca-4}$$


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#2 Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 282 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 06-08-2019 - 23:51

Đặt $ a = x + 2, b = y  +2 , c = z  +2 \Rightarrow x+y+z = 0 $ 

BĐT $ \Leftrightarrow (\sum ab)^2 - 9\sum ab - 9abc + 36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow (\sum xy + 12)^2 - 9( \sum xy + 12) - 9(x+2)(y+2)(z+2) +36 \geq 0 $ 

$ \Leftrightarrow  (\sum xy )^2 - 3 (\sum xy) - 9xyz \geq 0 $.

Thay $ z = -x - y $ vào, BĐT có dạng $ (x^2+y^2+xy)^2 + 3(x^2+y^2+xy) + 9xy(x+y) \geq 0 $.

Do $ xy.yz.xz = x^2y^2z^2 \geq 0 $ nên ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0, giả sử là $ xy $.

Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2 + xy \geq \frac{3}{4}(x+y)^2 \geq 3xy $, ta có  VT  $ \geq 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) $

Ta chỉ cần chứng minh  $ 9x^2y^2 + \frac{9}{4}(x+y)^2 + 9xy(x+y) \geq 0 $ hay $ [ 3xy + \frac{3}{2}(x+y) ]^2 \geq 0 $ (Đúng).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 07-08-2019 - 08:43

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh