Cho $0<a\le b\le c$ và $ca^2\ge1$. CMR :
$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}$$
Cho $0<a\le b\le c$ và $ca^2\ge1$. CMR :
$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}$$
Cho $0<a\le b\le c$ và $ca^2\ge1$. CMR :
$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}$$
Không hiểu lắm nhưng mình nghĩ là thế này:
Ta có bổ đề quên thuộc sau: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ (bài toán này hoàn toàn có thể chứng minh bằng quy đồng chuyển vế)
Áp dụng ta có:
+) $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}$.
+) $\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}$.
+) $\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}\geq \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow dpcm$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Không hiểu lắm nhưng mình nghĩ là thế này:
Ta có bổ đề quên thuộc sau: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ (bài toán này hoàn toàn có thể chứng minh bằng quy đồng chuyển vế)
Áp dụng ta có:
+) $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}$.
+) $\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}$.
+) $\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}\geq \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{4}{1+abc}$
$\Rightarrow dpcm$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
bổ đề đó đúng với $ab\ge1$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh