Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum{\frac{1}{1+a^3}}\ge\frac{3}{1+abc}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Dang Hong Ngoc

Dang Hong Ngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Cho $0<a\le b\le c$ và $ca^2\ge1$. CMR : 

$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}$$



#2
SpiritCreator

SpiritCreator

    Binh nhất

  • Điều hành viên THCS
  • 20 Bài viết

Cho $0<a\le b\le c$ và $ca^2\ge1$. CMR : 

$$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}$$

Không hiểu lắm nhưng mình nghĩ là thế này:

Ta có bổ đề quên thuộc sau: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ (bài toán này hoàn toàn có thể chứng minh bằng quy đồng chuyển vế)

Áp dụng ta có:

+) $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}$.

+) $\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}$.

+) $\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}\geq \frac{4}{1+abc}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{4}{1+abc}$ 

$\Rightarrow dpcm$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$



#3
Dang Hong Ngoc

Dang Hong Ngoc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Không hiểu lắm nhưng mình nghĩ là thế này:

Ta có bổ đề quên thuộc sau: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\geq \frac{2}{1+ab}$ (bài toán này hoàn toàn có thể chứng minh bằng quy đồng chuyển vế)

Áp dụng ta có:

+) $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}$.

+) $\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}$.

+) $\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^4ab}}\geq \frac{4}{1+abc}$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{4}{1+abc}$ 

$\Rightarrow dpcm$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

bổ đề đó đúng với $ab\ge1$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh