Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá



#2
ChiMiwhh

ChiMiwhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá

Mình vừa thấy lời giải của bài này. Qui đồng rồi áp dụng

Bổ đề: $\sum \dfrac{ab}{c} \ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ và $\sum \dfrac{a^2}{b} \ge \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$



#3
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Em định dùng bđt này: $\sum\frac{a^2}{b}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$



#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$

Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$

Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$

(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 26-03-2021 - 20:06

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh