Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá
Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá
Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$
P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá
Mình vừa thấy lời giải của bài này. Qui đồng rồi áp dụng
Bổ đề: $\sum \dfrac{ab}{c} \ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ và $\sum \dfrac{a^2}{b} \ge \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$
Em định dùng bđt này: $\sum\frac{a^2}{b}+a+b+c\geq 2\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}$
Ta cần chứng minh: $\frac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2-3}\geq \frac{9}{a+b+c}$
Đặt $a+b+c=t=\sqrt{3+2(ab+bc+ca)}>\sqrt{3}$
Ta quy về chứng minh: $\frac{2t^2}{t^2-3}\geq \frac{9}{t}(*)$
(*) đúng do nó tương đương:$ \frac{(t-3)^2(2t+3)}{t(t^2-3)}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 26-03-2021 - 20:06
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh