Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang72]

Cho $a,b,c\in[0;4]$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Tìm Min, Max của biểu thức $P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 23-03-2021 - 23:35

[KietLW9]

Cho $a,b,c\in[0;4]$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Tìm Min, Max của biểu thức $P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$.

Đặt $(a,b,c)\rightarrow (x+2,y+2,z+2)\Rightarrow x+y+z= 0$

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số $x,y,z$ tồn tại hai số cùng dấu, giả sử đó là $x;y$ $\Rightarrow 2xy\geqslant0$

Ta có: $a,b,c \in [0;4]$ $\Rightarrow x,y,z \in [-2;2]$$\Rightarrow z^2\leqslant 4$

+) $x^2+y^2+z^2\leqslant (x+y)^2+z^2=2z^2\leqslant 8$

Vậy ta có: $0\leqslant x^2+y^2+z^2\leqslant 8$

+) Vì $a,b,c \in [0;4]$ nên $(4-a)(4-b)(4-c)\geqslant0$

$\Leftrightarrow 64-16(a+b+c)+4(ab+bc+ca)\geqslant abc\geq 0 \Leftrightarrow ab+bc+ca\geqslant 8$

$\Rightarrow (x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(y+2)\geq 8 \Leftrightarrow xy+yz+zx+4(x+y+z)+12\geq 8 \Leftrightarrow xy+yz+zx\geqslant -4$

+) Vì $x+y+z=0$

$\Rightarrow 0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx\leqslant 0$

MIN:

$P= (x+2)^4+(y+2)^4+(z+2)^4-24(x+1)(y+1)(z+1)= x^4+y^4+z^4+8(x^3+y^3+z^3-3xyz)+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24+32(x+y+z)= x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24\geqslant 24$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=0\Leftrightarrow a=b=c=2$

MAX: Xét bất đẳng thức $x^4+y^4+z^4\leqslant 4x^2+4y^2+4z^2$ $\Leftrightarrow x^2(x^2-4)+y^2(y^2-4)+z^2(z^2-4)\leqslant 0$ (luôn đúng do $x,y,z \in[-2;2]$)

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4\leqslant 32$

$P= x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24\leqslant 32+24.8+96+24=344$

Đẳng thức xảy ra khi $a=4;b=2;c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 18-08-2021 - 18:15