Chủ đề này có 167 trả lời

[nguyen vu1]

Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em   ) 

Sau đây là một vài bài mới của TOPIC: 

 

Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau

 

Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n 

 

Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.

 

Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!

              b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!$

mình xin đóng góp bài 108a

$(x+y)! \vdots x! \Rightarrow y!\vdots x!$ tương tự $\Rightarrow x\geq y$ và $y\geq x$ $\Rightarrow x=y$

$\Rightarrow 2.x!=(2x)!\Rightarrow 2=(x+1)(x+2)...(2x)\Rightarrow$ vô lý vì VP>VT =>không tồn tại x,y thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen vu1: 17-04-2021 - 00:29

[CloudSup]

Bài này khá hay và cũng có vẻ lạ đối với nhiều bạn học THCS vì nó vượt ra khỏi các phương trình Diophantos như nhiều bài toán trên topic. Mời các bạn thử sức với bài toán sau đây:

Câu 109: Kí hiệu bộ (x,y,z) là ước số dương lớn nhất của các số nguyên dương x,y,z.

              a)CMR: với mọi số M nguyên dương luôn tồn tại các số a,b,c nguyên dương sao cho (a,b,c) =1 và $(a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^{2014}+b^{2014}+c^{2014})>M$

                b) Cho a,b,c là các số nguyên dương có (a,b,c)=1. Tìm tất cả các giá trị có thể của $D=(a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^{2013}+b^{2013}+c^{2013})$

[CloudSup]

Câu 107:

$p|(n^3-1)=>p|(n-1)(n^2+n+1)$

Mà $n| p-1$$= > p-1\geq n= > p\geq n+1\geq n-1= > p|n^2+n+1$

Đặt $n^2+n+1=kp$

Xét số dư của k cho n do p chia n dư 1 nên k chia n dư 1. Khi đó tồn tại 2 số nguyên dương a và b sao cho $a\geq 1, p=an+1,k=bn+1= > n^2+n+1=(an+1)(bn+1)= > abn+(a+b)=n+1$

Nếu b>0 mà $a\geq 1= > abn+(a+b)\geq n+2 (False)$

Suy ra b=0 hay k=1

$= > p=n^2+n+1=>n+p=(n+1)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CloudSup: 17-04-2021 - 21:45

[pcoVietnam02]

Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!

 

Giả sử $x \geq y$ thì $x! \geq y!$ . Do đó $2(x!) \geq x! + y! = (x+y)!$

hay $2(x!) \geq x!. (x+1)(x+2)...(x+y)$

suy ra $2 \geq (x+1)(x+2)...(x+y)$ 

Vì 2 chỉ có ước nguyên dương 1,2 và $x,y$ nguyên dương nên ta chỉ nhận nghiệm $(x,y)=(1;1)$

Thử lại thấy thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 17-04-2021 - 22:16

[nguyen vu1]

đoạn cuối mình nhẩm nghiệm sai nên ra vô nghiệm, đen quá

 

Giả sử $x \geq y$ thì $x! \geq y!$ . Do đó $2(x!) \geq x! + y! = (x+y)!$

hay $2(x!) \geq x!. (x+1)(x+2)...(x+y)$

suy ra $2 \geq (x+1)(x+2)...(x+y)$ 

Vì 2 chỉ có ước nguyên dương 1,2 và $x,y$ nguyên dương nên ta chỉ nhận nghiệm $(x,y)=(1;1)$

Thử lại thấy thỏa mãn

[Nguyen Van Hoang noob]

Góp topic đề thi thử vào chuyên Toán PTNK sáng nay. Mong nhận được lời giải chi tiết, mình vẫn còn mơ hồ về bài này do trước nay chưa từng đụng tới số học.

$\boxed{93}$ Cho $m,n$ là các số nguyên dương sao cho $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m-n$ là một số lẽ.

a) Chứng minh hai số $m+3n$ và $5m+7n$ nguyên tố cùng nhau.

b) Chứng minh $(m+3n)(5m+7n)$ không thể là một số chính phương.

 

#Sorry mọi người, mình tưởng bài này chưa có ai giải... thôi cứ để tạm đây cũng được

 

Đây là 1 bài toán khá là vừa sức . Mình xin trình bày lời giải như sau ạ .

a) Ta có :

$m+3n=(m-n)+4n;5m+7n=5(m-n)+12n$

Do $m-n$ lẻ nên $m+3n,5m+7n$ lẻ

Gọi $(m+3n,5m+7n)=d$ $(d\in \mathbb{N^*}; d$ lẻ $)$

Suy ra $\begin{cases} m+3n \vdots d \\5m+7n \vdots d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5(m+3n)-(5m+7n)\vdots d\\ 7(m+3n)-3(5m+7n) \vdots d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8n\vdots d\\ -8m \vdots d \end{cases}$

Mà d lẻ nên $(d,8)=(d,-8)=1$

Suy ra $n,m \vdots d$ . Mà $(m,n)=1, d\in \mathbb{N^*} ; d$ lẻ 

$\Rightarrow d=1$ 

Vậy $(m+3n,5m+7n)=1$

 

b) Giả sử $(m+3n)(5m+7n)$ là số chính phương . Mà $(m+3n,5m+7n)=1$

Suy ra $m+3n,5m+7n$ đều là số chính phương.

Mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1

Nên $(5m+7n)-(m+3n)=2(m+n)$ chia 4 dư 0,1 hoặc 3

Mà m-n lẻ nên $2(m+n)$ chia 4 dư 2

Từ đó, giả sử sai.

Vậy $(m+3n)(5m+7n)$ không thể là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Hoang noob: 18-04-2021 - 12:41

[nguyen vu1]

#Sorry mọi người, mình tưởng bài này chưa có ai giải... thôi cứ để tạm đây cũng được

 

Đây là 1 bài toán khá là vừa sức . Mình xin trình bày lời giải như sau ạ .

a) Ta có :

$m+3n=(m-n)+4n;5m+7n=5(m-n)+12n$

Do $m-n$ lẻ nên $m+3n,5m+7n$ lẻ

Gọi $(m+3n,5m+7n)=d$ $(d\in \mathbb{N^*}; d$ lẻ $)$

Suy ra $\begin{cases} m+3n \vdots d \\5m+7n \vdots d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5(m+3n)-(5m+7n)\vdots d\\ 7(m+3n)-3(5m+7n) \vdots d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8n\vdots d\\ -8m \vdots d \end{cases}$

Mà d lẻ nên $(d,8)=(d,-8)=1$

Suy ra $n,m \vdots d$ . Mà $(m,n)=1, d\in \mathbb{N^*} ; d$ lẻ 

$\Rightarrow d=1$ 

Vậy $(m+3n,5m+7n)=1$

 

b) Giả sử $(m+3n)(5m+7n)$ là số chính phương . Mà $(m+3n,5m+7n)=1$

Suy ra $m+3n,5m+7n$ đều là số chính phương.

Mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1

Nên $(5m+7n)-(m+3n)=2(m+n)$ chia 4 dư 0,1 hoặc 3

Mà m-n lẻ nên $2(m+n)$ chia 4 dư 2

Từ đó, giả sử sai.

Vậy $(m+3n)(5m+7n)$ không thể là số chính phương

đoạn cuối sai rồi bạn ơi hiệu hai cái kia là 4(m+n) mà 2 số kia đều là số chính phương lẻ nên hiệu chia hết cho 8 =>vô lý nên giả sử sai

[KietLW9]

$\boxed{110}$Cho n là số nguyên dương chia hết cho 4 và k là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng: $\frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{2}$ là số tự nhiên chia hết cho $n+1$

$\boxed{111}$Tìm các số tự nhiên n sao cho dãy số $n+9;2n+9;3n+9;4n+9;...$ không chứa số chính phương nào

$\boxed{110}$Dễ thấy tổng $1^k+2^k+3^k+...+n^k$ là số chẵn nên $1^k+2^k+3^k+...+n^k\vdots 2$

Mặt khác $k$ là số tự nhiên lẻ nên 

$1^k+n^k\vdots n+1$

$2^k+(n-1)^k\vdots n+1$

...

$(\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2}+1)^k\vdots n+1$

Do đó: $1^k+2^k+3^k+...+n^k\vdots n+1$

Do $n$ chia hết cho 4 nên $(n+1,2)=1$

Từ đó suy ra $1^k+2^k+3^k+...+n^k\vdots 2(n+1)$

$\Rightarrow \frac{1^k+2^k+3^k+...+n^k}{2}\vdots n+1(Q.E.D)$

$\boxed{111}$Trong dãy luôn luôn có số: $(n+6)n+9=(n+3)^2$ nên không tồn tại n để dãy số $n+9;2n+9;3n+9;4n+9;...$ không chứa số chính phương nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-04-2021 - 10:57

[KietLW9]

$\boxed{109}$Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $a+\frac{1}{bc},b+\frac{1}{ca},c+\frac{1}{ab}$ là những số nguyên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=a+b^2+c^3$

Vì $a,b,c$ là các số hữu tỉ nên ta có thể đặt $abc=\frac{p}{q}$ với $p,q$ là các số tự nhiên khác $0$ và $(p,q)=1$

Ta có: $(a+\frac{1}{bc})(b+\frac{1}{ca})(c+\frac{1}{ab})=a(1+\frac{1}{abc})b(1+\frac{1}{abc})c(1+\frac{1}{abc})=abc(1+\frac{1}{abc})^3=\frac{p}{q}(1+\frac{q}{p})^3=\frac{(p+q)^3}{p^2q}$

Vì $a+\frac{1}{bc},b+\frac{1}{ca},c+\frac{1}{ab}$ là những số nguyên nên $(a+\frac{1}{bc})(b+\frac{1}{ca})(c+\frac{1}{ab})$ nguyên hay $\frac{(p+q)^3}{p^2q}$ nguyên $\Rightarrow (p+q)^3\vdots p^2q$

Vì $(p,q)=1$ nên $(p+q,p)=(p+q,q)=1$ suy ra $p = q = 1$

Nên $a+\frac{1}{bc}=2a;b+\frac{1}{ca}=2b;c+\frac{1}{ab}=2c$

Ta có: $2a,2b,2c$ là các số nguyên dương có tích bằng 8 nên chúng là các hoán vị của một trong các bộ số $(1;1;8),(1;2;4),(2;2;2)$ nên $a,b,c$ là hoán vị của một trong các bộ số $(\frac{1}{2};\frac{1}{2};4),(\frac{1}{2};1;2),(1;1;1)$

Thử các hoán vị trên ta có $M=a+b^2+c^3$ đạt giá trị lớn nhất là $64\frac{3}{4}$ tại $a=b=\frac{1}{2},c=4$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 19-04-2021 - 11:28

[DaiphongLT]

Bài 112: Tìm x, y thuộc Z: $x^4-6x^2+1=7.2^y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:23

[Nguyen Van Hoang noob]

$\boxed{112}$ (AIME 2021) Tìm tất cả các cặp (được sắp xếp) $(m,n)$ sao cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương thuộc tập hợp {$1,2,...,30$} và ước chung lớn nhất của $2^m+1$ và $2^n-1$ khác $1$

 

Ta chứng minh một bổ đề sau :

Với x,y nguyên dương . Ta có $(a^x-1;a^y-1)=a^{(x;y)}-1$ 

Bổ đề đã được chứng minh trong ảnh dưới.

 

Ta có: $(2^m-1;2^n-1)=2^{(m;n)}-1$

Để $(2^m-1;2^n-1)\neq 1 \Leftrightarrow 2^{(m;n)}-1\neq 1\\ \Leftrightarrow 2^{(m;n)}\neq 2 \Leftrightarrow (m;n)\neq 1$

Mà $m,n \in \left \{ 1;2;...;30 \right \}$
Có tất cả 158 cặp m,n phân biệt thỏa mãn (mình chưa làm cách nào tối ưu bước này được )

Hình gửi kèm

• 

[ChiMiwhh]

Bài 112: Tìm x, y thuộc Z: $x^4-6x^2+1=7.2^y$

Chắc phải ghi là y thuộc N

thì giải như thế này

Xét $y=0,1,2,3$ thử được $y=2$, $x=3$ hoặc $x=-3$

Xét $y\geq 4$

Tương đương với

$(x^2-3)^2=8(7.2^{y-3}+1)$

nhận xét ngoặc bên VP lẻ nên 

$VT=8.(2k+1)$ vô lí vì VT là SCP

éc quên x thuộc Z

Vậy $x=+-3$ và $y=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 21-04-2021 - 19:21

[ChiMiwhh]

Bài 113: Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $n^2+3n+1=5^{m}$

p.s: nhìn hơi giống 112

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiMiwhh: 21-04-2021 - 19:21

[Lemonjuice]

Chắc phải ghi là y thuộc N

thì giải như thế này

Xét $y=0,1,2,3$ thử được $y=2$, $x=3$ hoặc $x=-3$

Xét $y\geq 4$

Tương đương với

$(x^2-3)^2=8(7.2^{y-3}+1)$

nhận xét ngoặc bên VP lẻ nên 

$VT=8.(2k+1)$ vô lí vì VT là SCP

P.s: test font chữ mới. éc quên x thuộc Z

Vậy $x=+-3$ và $y=2$

y thuộc Z thì vế phải là số hữu tĩ nên không thỏa thôi em

[DaiphongLT]

Góp cho topic một vài bài
Bài 114: Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$
Bài 115: Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho tồn tại a, b là các số tự nhiên thỏa: $(x^2+a)^a=(2x-1)^b$
Bài 116: Tìm các số nguyên tố p, q: $p^3+107=2q(17q+24)$
Bài 117: Tìm $x\in Z^+$ và p là số nguyên tố sao cho $7^p-4^p=31x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:22

[ChiMiwhh]

Bài 113: Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $n^2+3n+1=5^{m}$

p.s: nhìn hơi giống 112

Hic ko có ai làm

Xét $m=1$ nên $n=1$

Xét $m\geq 2$

$n^2+3n+1=5^{m}$ 

tương đương với

$(2n+3)^2=5(4.5^{m-1}+1)$

Nên ngoặc bên VP không chia hết cho 5

suy ra $(2n+3)^2$ không chia hết cho 25(Vô lí)

Vậy $m=n=1$

[ChiMiwhh]

Bài 114: Tìm tất cả các số x, y $\in N$ thỏa mãn $85^x-y^4=4$

Ta có

**: x chẵn . dễ chỉ ra vô nghiệm

**: x lẻ

$85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$

Đặt $d=UCLN(y^2+2y+2;y^2-2y+2)$

nên $4y\vdots d$

Trường hợp d chẵn thì $85^x$ chẵn(Vô lí)

Trường hợp $y\vdots d$ thì $85^x\vdots d$ nên $4\vdots d$

Nên $d=1$

Lại có $y^2+2y+2>y^2-2y+2$

Áp dụng bổ đề 

$a^b=xy$ với $(x,y)=1$ thì $x=(x_1)^b$ và $y=(y_1)^b$ với $(x_1,y_1)=1$. Chứng minh ở topic cũ  

Ta có $y^2+2y+2=17^x$

$y^2-2y+2=5^x$

 

Trừ vế theo vế, ta có

$4y=17^x-5^x$

Thế lại vào phương trình gốc

với $(a,b)=(17^x,5^x)$

Ta có $(a-b)^4-1024-256ab=0$ tương đương

$(a^2-2ab+b^2+8a+8b+32)(a^2-2ab+b^2-8a-8b+32)=0$ đến đây giải dễ rồi nhỉ

Ko biết cách này vào phòng thi được ko 

[KietLW9]

$\boxed{Problem 118}$Tìm các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $4^x+4^y+4^z$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 22:22

[DaiphongLT]

$\boxed{Problem 118}$Tìm các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $4^x+4^y+4^z$ là số chính phương.

Không mất tính TQ, giả sử $x\leq y\leq z$ 
$\Rightarrow 4^{x}(1+4^{y-x}+4^{z-x})=a^2$
th1: ngoặc bên VT lẻ thì $1+4^{y-x}+4^{z-x}=(2k+1)^2\Rightarrow 4^{y-x-1}+4^{z-x-1}=k(k+1) \Leftrightarrow 4^{y-x-1}(1+4^{z-y})$
với k chẵn thì $\left\{\begin{matrix} 4^{y-x-1}=k & \\ 4^{z-y}+1 =k+1& \end{matrix}\right.$
nên z=2y-z-1 từ đó thay vào ptgt dc scp
tương tự với trường hợp k lẻ
th2: ngoặc bên VT chẵn thì x=y hoặc z=y (vô lí)
Vậy z=2y-x-1 (TM)

[ChiMiwhh]

Không mất tính TQ, giả sử $x\leq y\leq z$ 
$\Rightarrow 4^{x}(1+4^{y-x}+4^{z-x})=a^2$
th1: ngoặc bên VT lẻ thì $1+4^{y-x}+4^{z-x}=(2k+1)^2\Rightarrow 4^{y-x-1}+4^{z-x-1}=k(k+1) \Leftrightarrow 4^{y-x-1}(1+4^{z-y})$
với k chẵn thì $\left\{\begin{matrix} 4^{y-x-1}=k & \\ 4^{z-y}+1 =k+1& \end{matrix}\right.$
nên z=2y-z-1 từ đó thay vào ptgt dc scp
tương tự với trường hợp k lẻ
th2: ngoặc bên VT chẵn thì x=y hoặc z=y (vô lí)
Vậy z=2y-x-1 (TM)

Why k chẵn thì nó lại bằng như thế