Bài 179: Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$
~~~~~~~~~~~~~~~
Lời giải.
* Xét $p=2$ thì $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$
* Xét $p>2$ thì $p$ lẻ nên $p(p-1)^2+1\equiv 1(\text{mod 4})$
Đặt $p(p-1)^2+1=3^n(n>2)\Rightarrow 3^n\equiv 1(\text{mod 4})\Rightarrow (-1)^n\equiv 1(\text{mod 4})$ nên $n$ chẵn. Đặt $n=2k(k>1)$
Khi đó phương trình được viết lại thành: $p(p-1)^2=(3^k-1)(3^k+1)$
Vì $p$ là số nguyên tố nên $p|3^k-1$ hoặc $p|3^k+1$
** Nếu $p|3^k-1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k-1}{2p}.\frac{3^k+1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$
Ta có nhận xét: $(3^k+1,3^k-1)=2\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2})=1\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2p})=1$
Do vậy $\frac{3^k+1}{2}$ là số chính phương mà $3^k+1\equiv 4(\text{mod 3})\Rightarrow \frac{3^k+1}{2}\equiv 2(\text{mod 3})$ (Vô lí)
** Nếu $p|3^k+1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k+1}{2p}.\frac{3^k-1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$
Tương tự như trên thì ta cũng có $\frac{3^k+1}{2p}$ là số chính phương nên ta đặt $3^k+1=2pt^2$
Nếu $k$ lẻ thì $2pt^2=3^k+1\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 2})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow 3^k+1\equiv 0(\text{mod 8})$ (Vô lí do $3^k+1\equiv 4(\text{mod 8})$)
Vậy $k$ chẵn nên ta đặt $k=2s$ do đó $\frac{3^{2s}-1}{2}$ là số chính phương
Đặt $(3^s-1)(3^s+1)=2w^2\Rightarrow \frac{3^s-1}{2}.\frac{3^s+1}{2}=2(\frac{w}{2})^2$
Do đó trong hai số $\frac{3^s-1}{2}$ và $\frac{3^s+1}{2}$ có một số là số chính phương và một số gấp hai lần một số chính phương nhưng $\frac{3^s+1}{2}$ không là số chính phương nên ta đặt $3^s+1=4y^2\Rightarrow 3^s=(2y+1)(2y-1)\Rightarrow 2y-1=1\Rightarrow y=1\Rightarrow s=1\Rightarrow k=2\Rightarrow p|10\Rightarrow p=5$
Vậy $p=2$ hoặc $p=5$