Chủ đề này có 19 trả lời

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 1: Cho x,y,z>0 Thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm Max: $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Bài 2: Cho a,b,c > 0 t/m: abc=1 

Tìm Min: $A=\sum \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}$

Bài 3: Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3 

Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

Bài 4: Cho a,b,c>0 và $abc\geq 1$ 

CMR : $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+ \frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

Bài 5: Cho a,b,c>0 t/m abc=1

CMR: $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)} \geq 9$

5 bài nha mấy thánh làm đi :v ( làm hết gửi thêm ) )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 17-08-2019 - 20:17

[Sin99]

Bài 4 BĐT tương đương 

$  \sum ( a+1- \frac{a+1}{b+1}) \geq 3 $  hay $ \sum \frac{b(a+1)}{b+1} \geq 3 $

Đúng theo AM-GM vì $ abc \geq 1 $ theo giả thiết.

ĐPCM

[Sin99]

Bài 2 Sử dụng điều kiện $ abc = 1 $ , dễ thấy VT được viết lại thành

$ \sum \frac{b^3c^3}{(1+ac)(1+ab)} $.

Áp dụng AM-GM: 

$  \frac{b^3c^3}{(1+ac)(1+ab)} + \frac{1+ac}{8} + \frac{1+ab}{8} \geq \frac{3bc}{4} $ 

Tương tự, cộng theo vế ta có $ VT \geq \sum \frac{3bc}{4} - \sum \frac{1+bc}{4} = \sum \frac{bc}{2} - \frac{3}{4} \geq \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $

Vậy $ Min P = \frac{3}{4} $ khi $ a = b = c = 1 $.

[Sin99]

Bài 5.

$ VT = \sum \frac{a^3 + 5}{a^3(b+c)} \geq \sum \frac{3a+3}{a^3(b+c)} = \frac{3+3bc}{a^2(b+c)} $

1) $ \sum \frac{3}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{b+c} = 3 \sum \frac{ \frac{1}{a^2} }{ \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} }  \geq 3 \frac{ ( \sum \frac{1}{a})^2}{2 \sum \frac{1}{ab} } \geq \frac{9}{2} $ 

2) $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{ab+ac} $.

Áp dụng AM - GM : $ \frac{b^2c^2}{ab+ac} + \frac{ab+ac}{4} \geq bc $

Tương tự, suy ra $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)}  \geq 3( \sum bc - \sum \frac{bc}{2} ) = 3 \sum \frac{bc}{2} \geq \frac{9}{2} $

Từ 1, 2 suy ra $ VT \geq \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 $

[Sin99]

Bài 1. Chia 2 vế gt cho $ z^2 $ khác 0 ta được $ x^2 \frac{1}{z} + y^2x + \frac{1}{z^2}y = 3 $ 

Đặt $ x = a, y = b, \frac{1}{z} = c $ ta có $ a^2c + b^2a + c^2b = 3 $.

$ P = \frac{1}{\frac{1}{z^4} + x^4 + y^4 } = \frac{1}{a^4 + b^4 + c^4 } $.

Ta có $ 3(a^4 + b^4 +c^4) + 3 \geq 4(a^3 + b^3 +c^3) $

Mặt khác $ 2a^3 + c^3 \geq 3a^2c, 2b^3 + a^3 \geq 3b^2a, 2c^3 + b^2 \geq 3c^2b $ suy ra $  3(a^3 + b^3 + c^3) \geq 3( a^2c + b^2a + c^2b) = 9 $ hay 

$ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3 $. Từ đó có $ 3(a^4 + b^4 +c^4) + 3 \geq 4.3 = 12 $ hay $ a^4 + b^4 +c^4 \geq 3 $.

Vậy $ P \leq \frac{1}{3} $. 

 

[Thanhlongviemtuoc]

@sin99 Thêm vài bài nha

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi

[hanguyen445]

@sin99 Thêm vài bài nha

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi

\textbf{ Bài 9.}.\\

Ta có:
$$2x.y\le\dfrac{(2x+y)^2}{4}$$
Do đó:
$$\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{8}{5(2x+y)^2}+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{4}{5(2x+y)}$$
Ta lại có:
$$P+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{4}{5(2x+y)}+\dfrac{5}{x+2y+5}$$
$$=\dfrac{2^2}{5(2x+y)}+\dfrac{5^2}{5(x+2y+5)}\ge\dfrac{49}{5(3x+3y+5)}$$
Do $x+y\le 3$, nên ta có:
$$P\ge\dfrac{49}{5.14}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{5}$$
Vậy Min P$=\dfrac{3}{5}$, khi x=1,y=2.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 15-08-2019 - 17:28

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 10: Cho a,b,c>0 t/m a+b+c=abc 

CMR: $\frac{3\sqrt{3}}{4}\leq \frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\leq \frac{a+b+c}{4}$

[Sin99]

Bài 10

$ \textbf{ Vế phải } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)} = \sum \frac{bc}{a+b+a+c} \leq \frac{1}{4} \sum ( \frac{bc}{a+b} + \frac{bc}{a+c} ) = \frac{a+b+c}{4} $ 

$ \textbf{ Vế trái } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)} = \frac{ \frac{1}{a} }{ \frac{1}{bc} + 1 } $

Đặt $ \frac{1}{a} = x, \frac{1}{b} = y, \frac{1}{c} = z $.

Giả thiết trở thành $ xy  + yz + xz = 1 $. Dễ chứng minh $ xyz \leq \frac{1}{3 \sqrt{3} } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)}  = \sum \frac{x}{ yz + 1} = \sum \frac{x^2}{xyz + x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{3xyz+x+y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{ \frac{1}{ \sqrt{3} } + x+y+z } $.

Đặt $ x + y  +   z = t, t \geq \sqrt{3} $, ta cần chứng minh $  \frac{t^2}{ \frac{1}{ \sqrt{3} } + t } \geq \frac{3 \sqrt{3} }{4} $

hay $ 4t^2 - 3\sqrt{3}t - 3 \geq 0 $ hay $ ( t - \sqrt{3})( t + \frac{\sqrt{3} }{4} ) \geq 0 $ ( Đúng )

Vậy suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 15-08-2019 - 22:59

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 

[hanguyen445]

 

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 

 

 

Bài 6.

Ta có $\dfrac{(4x-1)y-x}{xy}=4-(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})>4-(3+1)=0$ và với giả thiết dự đoán điểm rơi x=1/2,y=1.

Khi đó ta có đánh giá bên dưới:

$$P=x^2+4.\dfrac{y^2}{4}+4.\dfrac{(xy)^2}{4(4xy-(x+y))^2}\ge\dfrac{1}{9}(x+2y+\dfrac{2xy}{4xy-(x+y)})^2=\dfrac{Q^2}{9}$$

$Q=x+2y+\dfrac{2xy}{4xy-(x+y)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}+4.\dfrac{1}{\dfrac{2}{y}}+4.\dfrac{1}{8-2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})}\ge\dfrac{9^2}{32-\dfrac{7}{x}}\ge\dfrac{81}{32-14}=\dfrac{9}{2}$.

Do đó  

$$P\ge\dfrac{9^2}{9.2^2}=\dfrac{9}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 17-08-2019 - 16:16

[Thanhlongviemtuoc]

Bài 3: Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3 

Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

 

Ai làm được bài này chưa. Hơi khó nha :v    

[PDF]

Ai làm được bài này chưa. Hơi khó nha :v    

Ta có $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3\Rightarrow P\geq \frac{1}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$ .

Cần chứng minh $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}\geq xy+yz+zx$.

Theo BĐT AM-GM: $\sqrt[3]{x}=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}}\geq \frac{3x}{2x+1}$

Do đó chỉ cần c/m : $\frac{3x}{2x+1}+\frac{3y}{2y+1}+\frac{3z}{2z+1}\geq xy+yz+zx$

Khai triển và rút gọn , BĐT tương đương với $4q^{2}-5q-9+4r(2q-9)\leq 0$ với $q=xy+yz+zx ; r=xyz$ .

Vì $q\leq 3<\frac{9}{2}\Rightarrow 2q-9\leq 0$ nên BĐT sẽ đúng khi $q\leq \frac{9}{4}$.

Xét $\frac{9}{4}\leq q\leq 3$ , ta sử dụng BĐT Schur bậc 3 : $p^{3}+9r\geq 4pq$ ta có $r\geq \frac{4q-9}{3}$ ($p=x+y+z=3$)

$\Rightarrow 4q^{2}-5q-9+4r(2q-9)\leq 4q^{2}-5q-9+\frac{4(2q-9)(4q-9)}{3}=\frac{11(4q-9)(q-3)}{3}\leq 0$ (đpcm)

Vậy $minP=\frac{4}{3}$ khi $x=y=z=1$.                                                                                                                                      $\blacksquare$

[PDF]

@sin99 Thêm vài bài nha

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi

Bài 7: KMTTQ , g/sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$.

Cần c/m $(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{a+b+1}$ hay $(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1$.

Dùng trực tiếp BĐT AM-GM ta có  ngay đpcm.                                                                                                                                                                       $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 06-09-2019 - 21:39

[Thanhlongviemtuoc]

Cho a,b,c $\geq 0$, $x+y+z=4$

Tìm min,max của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

Giải:

max

$P=\sqrt{2}.\sqrt{\frac{2x+1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{3x+1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{\frac{4z+1}{4}}\leq \sqrt{(2+3+4)(x+y+z+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{183}}{2}$

Dấu "=" khi $\left\{\begin{matrix} \frac{2x+1}{4}=\frac{3y+1}{9}=\frac{4z+1}{16} \\ x+y+z=4 \end{matrix}\right.$

<=> $x=\frac{37}{102};y=\frac{301}{204};z=\frac{147}{68}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 07-09-2019 - 14:45

[PDF]

Cho a,b,c $\geq 0$, $x+y+z=4$

Tìm min,max của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

Giải:

max

$P=\sqrt{2}.\sqrt{\frac{2x+1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{3x+1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{\frac{4z+1}{4}}\leq \sqrt{(2+3+4)(x+y+z+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{183}}{2}$

Dấu "=" khi $\left\{\begin{matrix} \frac{2x+1}{4}=\frac{3y+1}{9}=\frac{4z+1}{16} \\ x+y+z=4 \end{matrix}\right.$

<=> $x=\frac{37}{102};y=\frac{301}{204};z=\frac{147}{68}$

Bạn đừng đăng bài lên rổi giải luôn vậy chứ

[PDF]

Bài 8 : Áp dụng BĐT AM-GM có $\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{18\times 24}}=\frac{1}{2}$ ;

$\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{16\times 8}}=\frac{3}{4}$ ;

$\frac{c}{6}+\frac{a}{9}+\frac{2}{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{6\times 9}}=1$ ;

$\frac{a}{9}+\frac{b}{12}+\frac{c}{6}+\frac{8}{abc}\geq 4\sqrt[4]{\frac{8}{9\times 6\times 12}}=\frac{4}{3}$ ;

$\frac{13a}{18}+\frac{13b}{16}+\frac{13c}{24}=13(\frac{a}{18}+\frac{b}{24})+13(\frac{b}{48}+\frac{c}{24})\geq 26\sqrt{\frac{ab}{18\times 24}}+26\sqrt{\frac{bc}{48\times 24}}\geq \frac{13}{2}$

Cộng theo vế ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=3;b=4;c=2$ .                                                                                                                                                                                        $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 10-09-2019 - 20:49

[PDF]

 

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 

 

Bài 8 là $bc\geq 8$ nhé

[Thanhlongviemtuoc]

a                                                                                                                                                    $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 11-09-2019 - 17:40

[Thanhlongviemtuoc]

$ VT = \sum \frac{a^3 + 5}{a^3(b+c)} \geq \sum \frac{3a+3}{a^3(b+c)} = \frac{3+3bc}{a^2(b+c)} $

 

1) $ \sum \frac{3}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{b+c} = 3 \sum \frac{ \frac{1}{a^2} }{ \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} }  \geq 3 \frac{ ( \sum \frac{1}{a})^2}{2 \sum \frac{1}{ab} } \geq \frac{9}{2} $ 

2) $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{ab+ac} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{2}$.

 

Từ 1, 2 suy ra $ VT \geq \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 11-09-2019 - 22:45