Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Những bài BĐT AM-GM Cauchy-Schwars hay (Mấy thánh vào giải)

bđt am-gm cauchy-schwars bất đẳng thức cosi cực trị toán 9 đề thi hsg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 14-08-2019 - 22:06

Bài 1: Cho x,y,z>0 Thỏa mãn $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$

Tìm Max: $P= \frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}$

Bài 2: Cho a,b,c > 0 t/m: abc=1 

Tìm Min: $A=\sum \frac{1}{a^4(b+1)(c+1)}$

Bài 3: Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3 

Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

Bài 4: Cho a,b,c>0 và $abc\geq 1$ 

CMR : $a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+ \frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$

Bài 5: Cho a,b,c>0 t/m abc=1

CMR: $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)} \geq 9$

5 bài nha mấy thánh làm đi :v ( làm hết gửi thêm :))) )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 17-08-2019 - 20:17


#2 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 14-08-2019 - 23:33

Bài 4 BĐT tương đương 

$  \sum ( a+1- \frac{a+1}{b+1}) \geq 3 $  hay $ \sum \frac{b(a+1)}{b+1} \geq 3 $

Đúng theo AM-GM vì $ abc \geq 1 $ theo giả thiết.

ĐPCM


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#3 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 14-08-2019 - 23:52

Bài 2 Sử dụng điều kiện $ abc = 1 $ , dễ thấy VT được viết lại thành

$ \sum \frac{b^3c^3}{(1+ac)(1+ab)} $.

Áp dụng AM-GM: 

$  \frac{b^3c^3}{(1+ac)(1+ab)} + \frac{1+ac}{8} + \frac{1+ab}{8} \geq \frac{3bc}{4} $ 

Tương tự, cộng theo vế ta có $ VT \geq \sum \frac{3bc}{4} - \sum \frac{1+bc}{4} = \sum \frac{bc}{2} - \frac{3}{4} \geq \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} $

Vậy $ Min P = \frac{3}{4} $ khi $ a = b = c = 1 $.


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#4 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 15-08-2019 - 00:16

Bài 5.

$ VT = \sum \frac{a^3 + 5}{a^3(b+c)} \geq \sum \frac{3a+3}{a^3(b+c)} = \frac{3+3bc}{a^2(b+c)} $

1) $ \sum \frac{3}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{b+c} = 3 \sum \frac{ \frac{1}{a^2} }{ \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} }  \geq 3 \frac{ ( \sum \frac{1}{a})^2}{2 \sum \frac{1}{ab} } \geq \frac{9}{2} $ 

2) $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{ab+ac} $.

Áp dụng AM - GM : $ \frac{b^2c^2}{ab+ac} + \frac{ab+ac}{4} \geq bc $

Tương tự, suy ra $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)}  \geq 3( \sum bc - \sum \frac{bc}{2} ) = 3 \sum \frac{bc}{2} \geq \frac{9}{2} $

Từ 1, 2 suy ra $ VT \geq \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 $


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#5 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 15-08-2019 - 00:31

Bài 1. Chia 2 vế gt cho $ z^2 $ khác 0 ta được $ x^2 \frac{1}{z} + y^2x + \frac{1}{z^2}y = 3 $ 

Đặt $ x = a, y = b, \frac{1}{z} = c $ ta có $ a^2c + b^2a + c^2b = 3 $.

$ P = \frac{1}{\frac{1}{z^4} + x^4 + y^4 } = \frac{1}{a^4 + b^4 + c^4 } $.

Ta có $ 3(a^4 + b^4 +c^4) + 3 \geq 4(a^3 + b^3 +c^3) $

Mặt khác $ 2a^3 + c^3 \geq 3a^2c, 2b^3 + a^3 \geq 3b^2a, 2c^3 + b^2 \geq 3c^2b $ suy ra $  3(a^3 + b^3 + c^3) \geq 3( a^2c + b^2a + c^2b) = 9 $ hay 

$ a^3 + b^3 + c^3 \geq 3 $. Từ đó có $ 3(a^4 + b^4 +c^4) + 3 \geq 4.3 = 12 $ hay $ a^4 + b^4 +c^4 \geq 3 $.

Vậy $ P \leq \frac{1}{3} $. 

 


$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#6 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 15-08-2019 - 15:02

@sin99 Thêm vài bài nha :D

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi :)



#7 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-08-2019 - 17:22

@sin99 Thêm vài bài nha :D

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi :)

\textbf{ Bài 9.}.\\

Ta có:
$$2x.y\le\dfrac{(2x+y)^2}{4}$$
Do đó:
$$\dfrac{1}{5xy}+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{8}{5(2x+y)^2}+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{4}{5(2x+y)}$$
Ta lại có:
$$P+\dfrac{1}{10}\ge\dfrac{4}{5(2x+y)}+\dfrac{5}{x+2y+5}$$
$$=\dfrac{2^2}{5(2x+y)}+\dfrac{5^2}{5(x+2y+5)}\ge\dfrac{49}{5(3x+3y+5)}$$
Do $x+y\le 3$, nên ta có:
$$P\ge\dfrac{49}{5.14}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{5}$$
Vậy Min P$=\dfrac{3}{5}$, khi x=1,y=2.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 15-08-2019 - 17:28

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#8 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 15-08-2019 - 20:48

Bài 10: Cho a,b,c>0 t/m a+b+c=abc 

CMR: $\frac{3\sqrt{3}}{4}\leq \frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}+\frac{ab}{c(1+ab)}\leq \frac{a+b+c}{4}$



#9 Sin99

Sin99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$ \boxed { \color{Red}{\boxed { \rightarrow \color{Blue}{\textbf{ PTNK } } \leftarrow } } } $
  • Sở thích:$ \textbf{ Alone } $

Đã gửi 15-08-2019 - 22:59

Bài 10

$ \textbf{ Vế phải } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)} = \sum \frac{bc}{a+b+a+c} \leq \frac{1}{4} \sum ( \frac{bc}{a+b} + \frac{bc}{a+c} ) = \frac{a+b+c}{4} $ 

$ \textbf{ Vế trái } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)} = \frac{ \frac{1}{a} }{ \frac{1}{bc} + 1 } $

Đặt $ \frac{1}{a} = x, \frac{1}{b} = y, \frac{1}{c} = z $.

Giả thiết trở thành $ xy  + yz + xz = 1 $. Dễ chứng minh $ xyz \leq \frac{1}{3 \sqrt{3} } $

$ \sum \frac{bc}{a(1+bc)}  = \sum \frac{x}{ yz + 1} = \sum \frac{x^2}{xyz + x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{3xyz+x+y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{ \frac{1}{ \sqrt{3} } + x+y+z } $.

Đặt $ x + y  +   z = t, t \geq \sqrt{3} $, ta cần chứng minh $  \frac{t^2}{ \frac{1}{ \sqrt{3} } + t } \geq \frac{3 \sqrt{3} }{4} $

hay $ 4t^2 - 3\sqrt{3}t - 3 \geq 0 $ hay $ ( t - \sqrt{3})( t + \frac{\sqrt{3} }{4} ) \geq 0 $ ( Đúng )

Vậy suy ra ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 15-08-2019 - 22:59

$ \boxed{ \textbf{ Niềm hạnh phúc to lớn nhất của mọi cuộc đời là sự cô đơn bận rộn. - Voltaire } } $ 


#10 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 17-08-2019 - 14:52


Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 



#11 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-08-2019 - 16:10

 

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 

 

 

Bài 6.

Ta có $\dfrac{(4x-1)y-x}{xy}=4-(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})>4-(3+1)=0$ và với giả thiết dự đoán điểm rơi x=1/2,y=1.

Khi đó ta có đánh giá bên dưới:

$$P=x^2+4.\dfrac{y^2}{4}+4.\dfrac{(xy)^2}{4(4xy-(x+y))^2}\ge\dfrac{1}{9}(x+2y+\dfrac{2xy}{4xy-(x+y)})^2=\dfrac{Q^2}{9}$$

$Q=x+2y+\dfrac{2xy}{4xy-(x+y)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}+4.\dfrac{1}{\dfrac{2}{y}}+4.\dfrac{1}{8-2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})}\ge\dfrac{9^2}{32-\dfrac{7}{x}}\ge\dfrac{81}{32-14}=\dfrac{9}{2}$.

Do đó  

$$P\ge\dfrac{9^2}{9.2^2}=\dfrac{9}{4}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 17-08-2019 - 16:16

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#12 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 19-08-2019 - 10:27

Bài 3: Cho x,y,z>0 T/m: x+y+z=3 

Tìm Min: $P= \frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$

 

Ai làm được bài này chưa. Hơi khó nha :v :wacko:  :wacko:  :wacko:



#13 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2019 - 21:28

Ai làm được bài này chưa. Hơi khó nha :v :wacko:  :wacko:  :wacko:

Ta có $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3\Rightarrow P\geq \frac{1}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}$ .

Cần chứng minh $\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{xy+yz+zx}\geq xy+yz+zx$.

Theo BĐT AM-GM: $\sqrt[3]{x}=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}}}\geq \frac{3x}{2x+1}$

Do đó chỉ cần c/m : $\frac{3x}{2x+1}+\frac{3y}{2y+1}+\frac{3z}{2z+1}\geq xy+yz+zx$

Khai triển và rút gọn , BĐT tương đương với $4q^{2}-5q-9+4r(2q-9)\leq 0$ với $q=xy+yz+zx ; r=xyz$ .

Vì $q\leq 3<\frac{9}{2}\Rightarrow 2q-9\leq 0$ nên BĐT sẽ đúng khi $q\leq \frac{9}{4}$.

Xét $\frac{9}{4}\leq q\leq 3$ , ta sử dụng BĐT Schur bậc 3 : $p^{3}+9r\geq 4pq$ ta có $r\geq \frac{4q-9}{3}$ ($p=x+y+z=3$)

$\Rightarrow 4q^{2}-5q-9+4r(2q-9)\leq 4q^{2}-5q-9+\frac{4(2q-9)(4q-9)}{3}=\frac{11(4q-9)(q-3)}{3}\leq 0$ (đpcm)

Vậy $minP=\frac{4}{3}$ khi $x=y=z=1$.                                                                                                                                      $\blacksquare$



#14 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2019 - 21:38

@sin99 Thêm vài bài nha :D

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$

Bài 9: CHO x,y>0 t/m $x+y\leq 3$

Tìm min của $P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}$

4 bài tiếp mấy thánh khác cùng vào giải đi :)

Bài 7: KMTTQ , g/sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$.

Cần c/m $(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{a+b+1}$ hay $(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1$.

Dùng trực tiếp BĐT AM-GM ta có  ngay đpcm.                                                                                                                                                                       $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 06-09-2019 - 21:39


#15 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 07-09-2019 - 14:25

Cho a,b,c $\geq 0$, $x+y+z=4$

Tìm min,max của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

Giải:

max

$P=\sqrt{2}.\sqrt{\frac{2x+1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{3x+1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{\frac{4z+1}{4}}\leq \sqrt{(2+3+4)(x+y+z+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{183}}{2}$

Dấu "=" khi $\left\{\begin{matrix} \frac{2x+1}{4}=\frac{3y+1}{9}=\frac{4z+1}{16} \\ x+y+z=4 \end{matrix}\right.$

<=> $x=\frac{37}{102};y=\frac{301}{204};z=\frac{147}{68}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 07-09-2019 - 14:45


#16 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-09-2019 - 20:24

Cho a,b,c $\geq 0$, $x+y+z=4$

Tìm min,max của $P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

Giải:

max

$P=\sqrt{2}.\sqrt{\frac{2x+1}{2}}+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{3x+1}{3}}+\sqrt{4}.\sqrt{\frac{4z+1}{4}}\leq \sqrt{(2+3+4)(x+y+z+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{183}}{2}$

Dấu "=" khi $\left\{\begin{matrix} \frac{2x+1}{4}=\frac{3y+1}{9}=\frac{4z+1}{16} \\ x+y+z=4 \end{matrix}\right.$

<=> $x=\frac{37}{102};y=\frac{301}{204};z=\frac{147}{68}$

Bạn đừng đăng bài lên rổi giải luôn vậy chứ



#17 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-09-2019 - 20:49

Bài 8 : Áp dụng BĐT AM-GM có $\frac{a}{18}+\frac{b}{24}+\frac{2}{ab}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{18\times 24}}=\frac{1}{2}$ ;

$\frac{b}{16}+\frac{c}{8}+\frac{2}{bc}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{16\times 8}}=\frac{3}{4}$ ;

$\frac{c}{6}+\frac{a}{9}+\frac{2}{ca}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{6\times 9}}=1$ ;

$\frac{a}{9}+\frac{b}{12}+\frac{c}{6}+\frac{8}{abc}\geq 4\sqrt[4]{\frac{8}{9\times 6\times 12}}=\frac{4}{3}$ ;

$\frac{13a}{18}+\frac{13b}{16}+\frac{13c}{24}=13(\frac{a}{18}+\frac{b}{24})+13(\frac{b}{48}+\frac{c}{24})\geq 26\sqrt{\frac{ab}{18\times 24}}+26\sqrt{\frac{bc}{48\times 24}}\geq \frac{13}{2}$

Cộng theo vế ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=3;b=4;c=2$ .                                                                                                                                                                                        $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 10-09-2019 - 20:49


#18 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-09-2019 - 20:53

 

Bài 6: Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2} ; y\geq 1$

Tìm Min của $P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

Bài 7: Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ 

CMR: $\sum \frac{a}{b+c+1} +(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 8: Cho a,b,c>0 t/m: $ab\geq 12;bc\geq 18$

CMR: $(a+b+c)+2\sum \frac{1}{ab}+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{12}$ 

Bài 6,7,8 k ai làm ak :v. Bài 8 mình tìm dc trong báo toán học và tuổi trẻ nhưng k bt có sai đề k @@ thấy hơi sai sai

 

 

Bài 8 là $bc\geq 8$ nhé



#19 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 11-09-2019 - 17:38

a                                                                                                                                                    $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 11-09-2019 - 17:40


#20 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 11-09-2019 - 22:45

$ VT = \sum \frac{a^3 + 5}{a^3(b+c)} \geq \sum \frac{3a+3}{a^3(b+c)} = \frac{3+3bc}{a^2(b+c)} $

 

1) $ \sum \frac{3}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{b+c} = 3 \sum \frac{ \frac{1}{a^2} }{ \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} }  \geq 3 \frac{ ( \sum \frac{1}{a})^2}{2 \sum \frac{1}{ab} } \geq \frac{9}{2} $ 

2) $  \sum \frac{3bc}{a^2(b+c)} = 3 \sum \frac{b^2c^2}{ab+ac} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{2}$.

 

Từ 1, 2 suy ra $ VT \geq \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 11-09-2019 - 22:45






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh